Газ в центрифуге

Объект. Центрифуга – цилиндрический сосуд с газом радиусом R, длиной образующей H, вращается вокруг оси с угловой скоростью . В системе отсчета сосуда на частицу действует центробежная сила инерции, направленная от оси вращения. В результате концентрация газа увеличивается с удалением от оси. Тепловое движение разбрасывает частицы по всему объему сосуда, конкурируя с центробежной силой. Получим радиальное распределение частиц, пренебрегая силой тяжести.

Количественное описание. В системе отсчета, связанной с вращающимся сосудом, центробежная сила

создает потенциальную энергию. Используя

,

,

находим потенциальную энергию частицы массой m, находящейся на расстоянии r от оси:

.

Распределение Больцмана (2.55)

в цилиндрических координатах

,

имеет вид

.

Интегрируем по z и φ, и получаем вероятность нахождения частицы в цилиндрическом слое радиусом r толщиной dr

(П.6.4)

Вероятность найти частицу газа в единице объема на расстоянии r от оси

,

где объем цилиндрического слоя

.

Концентрация частиц

,

где N – число частиц в центрифуге. Учитывая (П.6.4), получаем

, (П.6.5)

где

– концентрация на оси вращения;

– увеличивается при удалении от оси.

Условие нормировки на число частиц

с учетом (П.6.5) дает

. (П.6.6)

Ориентационная поляризация диэлектрика

Полярный диэлектрик состоит из поляризованных молекул (например, сульфид водорода ), имеющих электрический дипольный момент

,

где q – модуль заряда иона; l – расстояние между ионами. Диполи разных молекул направлены хаотически по всем направлениям. Внешнее электрическое поле поворачивает диполи и устанавливает их вдоль поля, возникает ориентационная поляризация. Тепловое движение разбрасывает направления диполей. Средняя проекция дипольного момента на направление поля определяет степень поляризации диэлектрика. Получим дипольный момент единицы объема.

Количественное описание. В однородном электрическом поле Е, направленном по оси z, потенциальная энергия диполя

.

Доказательство

Электрическое поле направлено в сторону быстрейшего убывания потенциала. В однородном поле потенциал точки z

.

Эквипотенциальные поверхности перпендикулярны оси z

.

Для заряда q потенциальная энергия

,

тогда энергия диполя

,

где

, .

Для получения средней проекции дипольного момента используем распределение Больцмана (2.55)

.

Выбираем сферические координаты с осью z, направленной по полю, тогда

.

Потенциальная энергия не зависит от радиуса. Интегрируем (2.55) по радиусу и получаем

,

где элемент телесного угла

.

Потенциальная энергия не зависят от угла φ. Интегрируем по φ

,

,

.

Для упрощения вводим

– относительная энергия взаимодействия,

,

.

Получаем

.

Используем

,

находим функцию распределения ориентаций дипольного момента

. (П.6.7)

Средняя проекция дипольного момента

.

Интегрируем по частям

, , ,

.

Получаем

, (П.6.8)

где L(a) – функция Ланжевена.

В слабом поле

, ,

разлагаем в ряд

,

получаем

, ,

,

где ориентационная поляризуемость

обратно пропорциональна температуре.

В сильном поле

, ,

,

,

– все диполи ориентированы по полю. Возникает насыщение поляризуемости.

Поль Ланжевен разработал статистическую теорию парамагнетизма в 1905 г. и получил результат, аналогичный (П.6.8).

Петер Дебай применил в 1911 г. статистический метод Ланжевена для поляризации диэлектриков и назвал функцию (П.6.8) именем Ланжевена.

В честь Дебая названа внесистемная единица электрического дипольного момента

1 Д (дебай) = 110^–18 ед. СГС = 3,3356410^–30 Клм.

Поль Ланжевен (1872–1946) Петер Дебай (1884–1966)