Распределение Больцмана

Рассматривается распределение частиц идеального газа по координатам при температуре Т. При отсутствии внешнего поля все точки объема с газом равновероятны и концентрация частиц не зависит от координат. В стационарном потенциальном поле частица имеет потенциальную энергию и на нее действует сила

, ,

направленная в сторону быстрейшего уменьшения потенциальной энергии. Сила перемещает частицы газа в указанном направлении, но их разбрасывает тепловое движение. Конкуренция этих тенденций создает равновесное распределение концентрации частиц по координатам .

Получение распределения

Для частицы идеального газа используем каноническое распределение по фазовому пространству (2.17)

.

В гамильтониане

слагаемые с импульсами и координатами разделены, поэтому разделяются распределения по импульсам и координатам

.

Для координат получаем распределение Больцмана

, (2.55)

где

– вероятность обнаружения частицы в элементе объема ;

– число частиц в элементе объема ;

N – число частиц в объеме сосуда V;

– потенциальная энергия частицы во внешнем поле.

Нормировка вероятности

дает постоянную

.

Из (2.55) получаем

. (2.55а)

Если потенциальная энергия зависит от одной координаты , то интегрируем (2.55а) по x и y, и находим

, (2.55б)

где

– вероятность обнаружения частицы в интервале ;

– плотность вероятности, т. е. вероятность обнаружения частицы в единичном интервале около z;

N – число частиц в сосуде.

Число частиц в интервале равно

(2.56)

Мысленно выделяем в объеме газа цилиндр с образующей вдоль z, с поперечным сечением S, и числом частиц . В интервале с объемом число частиц

,

где концентрация частиц

. (2.56а)

Формула Больцмана

Объект. Газ в однородном поле тяжести. Сила mg действует на частицу вниз. Тепловая энергия раскидывает частицы по разным высотам. Концентрация уменьшается с высотой z.

Количественное описание. Потенциальная энергия частицы

,

где m – масса частицы; . Для концентрации получаем из (2.56а) формулу Больцмана

, (П.6.1)

где – концентрация при . При

находим

,

где – основание неперовых логарифов. С ростом температуры растет, уменьшается число частиц на малых высотах и увеличивается число частиц на больших высотах. Площадь под кривой распределения не зависит от температуры.

Если частицы заполняют цилиндр 0  z <  с поперечным сечением S, тогда число частиц

.

Получаем концентрацию при

,

и около точки z

.

Площадь под кривой

.

Вероятность обнаружить частицу в интервале

. (П.6.2)

Среднее положение частицы

,

где использовано

,

.

Число частиц в цилиндре

. (П.6.3)

Средняя потенциальная энергия частицы с учетом равна

.

Этот результат следует также из теоремы о распределении тепловой энергии по степеням свободы. Для одной степени свободы используем (2.38) и (2.39)

,

.

Для потенциальной энергии подставляем и находим .

Частные значения. При T = 300К для воздуха  = 29 кг/кмоль получаем . Число частиц в столбе воздуха с единичным поперечным сечением выражаем через давление . Для Р = 760 мм р.с. находим число частиц в столбе воздуха единичного поперечного сечения

.

Из (П.6.3) получаем концентрацию молекул у поверхности земли – число Лошмидта

.

Для сравнения концентрация электронов проводимости металла .

Иоганн Йозеф Лошмидт (1821–1895)