
- •Распределение максвелла–больцмана
- •Распределение по координатам и импульсам
- •Распределение Максвелла
- •Распределение по импульсам
- •Распределение по скоростям
- •Средняя и средняя квадратичная проекции скорости
- •Распределение в сферических координатах
- •Распределение по модулю скорости
- •Наиболее вероятная энергия
- •Средняя энергия
- •Поток частиц
- •Поток импульса
- •Поток энергии
- •Вытекание газа из отверстия сосуда в вакуум
- •Термоэлектронная эмиссия
- •Время выхода частицы из потенциальной ямы
- •Распределение Больцмана
- •Получение распределения
- •Формула Больцмана
- •Газ в центрифуге
- •Ориентационная поляризация диэлектрика
- •Термодинамические потенциалы Основные положения
- •Химический потенциал системы
- •Электрохимический потенциал
- •Внутренняя энергия
- •Равновесие двухфазной системы
- •Вычисление химического потенциала
- •Активность
- •Распределение частиц по уровням энергии
- •Среднее число частиц в состоянии равно активности
- •Химический потенциал равен энергии уровня со степенью заполненности единица
- •Термодинамический потенциал Гиббса
- •Большое каноническое распределение
- •Распределение микросостояний по фазовому пространству
- •Интеграл состояния
- •2. Распределение электронов у поверхности металла
- •3. Капля жидкости в насыщенном паре
- •4. Заряженная капля в насыщенном паре
- •Вопросы коллоквиума
- •Вопросы экзамена
Поток энергии
Плотность
потока энергии
по оси z
есть средняя энергия, переносимая за
1с через единичную площадку, перпендикулярную
оси z.
Частица несет энергию, связанную с
движением по трем направлениям:
.
Для потока вдоль оси z оси x и y равноправны, тогда
.
Число частиц, проходящих за 1с через единичную площадку, перпендикулярную оси z, со скоростями в интервале равно
,
где
– вероятность найти частицу с проекцией
скорости на ось i
в интервале значений
.
Умножаем на энергию, суммируем по всем
возможным проекциям, и получаем плотность
потока энергии
.
Подставляем
,
находим
.
Интегралы разделяются
.
Учитываем нормировку вероятности
,
,
получаем
.
Для вычисления интегралов используем (2.42)
,
,
выражение (2.51) для плотности потока частиц
,
и выражение (2.42б) для среднеквадратичной проекции скорости
.
В результате
.
Ищем
,
где учтено
.
Используем
,
, , ,
тогда
.
С учетом
находим
.
В результате плотность потока энергии
.
(2.54)
Следовательно, средняя энергия частицы в потоке
.
(2.54а)
Это превышает среднюю энергию частицы в газе (2.50)
.
Поток не является равновесным состоянием, к нему не применима теорема о распределении энергии по степеням свободы. Бóльший вклад вносят в поток более быстрые частицы.
Вытекание газа из отверстия сосуда в вакуум
Найдем число частиц, выходящих из отверстия сосуда с газом в вакуум. Размер отверстия должен быть достаточно малым, чтобы вытекающий поток был слабым, распределение частиц в газе оставалось равновесным, и можно было использовать полученные ранее функции распределения.
Направляем ось z перпендикулярно плоскости отверстия площадью S. Используем распределение (2.43) в сферических координатах
.
Осевая симметрия системы позволяет проинтегрировать распределение по углу j
– концентрация
частиц газа, движущихся с модулем
скорости
под углом
.
Число вылетающих за 1с частиц под углом q со скоростью v пропорционально эффективной площади отверстия в направлении движения
,
скорости частиц и концентрации
,
тогда
(П.5.7)
– число
частиц, вылетающих за 1с через отверстие
площадью S
с модулем скорости
под углом
.
Интегрируем (П.5.7) по модулю скорости v в интервале (0, ¥) используя
,
, , ,
и находим число частиц, вылетающих за 1с со всеми скоростями под углом :
,
(П.5.8)
где плотность потока частиц (2.52)
.
Согласно (П.5.8) число частиц, вылетающих в единичный интервал угла около значения :
.
Пунктирная
линия на рисунке является функцией
распределения по углу. При
распределение зануляется из-за обращения
в нуль телесного угла
,
через который идет поток частиц. Максимум
распределения находится при
= 45.
Интегрируем (П.5.7)
по углу q в интервале (0, p/2). Используем
,
и находим число частиц, вылетающих за 1с по всем направлениям со скоростями в интервале :
.
(П.5.9)
Интегрируя (П.5.8) по углу, или (П.5.9) по скорости, и получаем число частиц, вылетающих через отверстие за секунду со всеми скоростями и под всеми углами
.
(П.5.10)
Результат
очевиден, поскольку
– число частиц, движущихся со скоростями
,
и произвольными
,
,
и пересекающих единичную поперечную
оси z
площадку за одну секунду.
Полученные формулы не учитывают рассеяния частицы при прохождении отверстия. Это предположение выполняется для малого отверстия, когда его размер гораздо меньше длины свободного пробега частицы.