Средняя и средняя квадратичная проекции скорости
С учетом (2.42а)
Гамильтониан зависит от квадрата скорости, поэтому направления по- и против оси x равноправные. В результате средняя проекция скорости равна нулю
.
Средняя квадратичная проекция скорости увеличивается с ростом температуры
,
(2.42б)
где
.
Доказательство
Подставляем (2.42а)
,
находим
,
где использовано
,
,
,
.
Распределение в сферических координатах
В распределении (2.41)
переходим от декартовых координат к сферическим
,
где
,
.
Получаем вероятность обнаружения частицы с модулем скорости в интервале от v до (v+dv), движущуюся в интервале углов от (, ) до (+d, +d)
,
(2.43)
где
– концентрация
частиц со скоростями от (v,
,
)
до (v+dv,
+d,
+d);
n – концентрация частиц со всеми скоростями.
Распределение по модулю скорости
Интегрируем
(2.43) по углам, учитываем
,
тогда
(2.44)
– вероятность
обнаружения частицы с модулем скорости
от v
до
;
(2.44а)
– функция
распределения по модулю скорости
– относительное
число частиц с модулем скорости в
единичном интервале около
;
dn(v) – концентрация частиц с модулем скорости от v до ;
– концентрация
частиц с модулем скорости в единичном
интервале около v.
Условие нормировки
.
Площадь
под кривой равна единице. Функция
максимальна при наиболее
вероятной скорости
.
При
график является параболой. При
функция экспоненциально убывает.
С ростом температуры максимум распределения понижается и сдвигается вправо, увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей скоростью, уменьшается вероятность обнаружить частицу с малой скоростью, площадь под кривой сохраняется.
Наиболее вероятная скорость
Для наиболее вероятной скорости функция распределения максимальна
.
Из
с учетом (2.44а)
находим наиболее вероятную скорость
.
(2.45)
Средняя скорость
Из теории вероятности
.
Подставляем (2.44а)
,
находим
.
(2.46)
При вычислении использовано
,
,
,
.
Средняя квадратичная скорость
Используя
.
аналогично находим
.
(2.47)
Распределение по энергии
В распределении по модулю скорости (2.44)
заменяем
,
,
,
где
ε – кинетическая энергия частицы.
Получаем вероятность
найти частицу с энергией в интервале
,
(2.48)
где функция распределения Максвелла по энергии
(2.48а)
– относительное число частиц с энергией в единичном интервале около ε;
– концентрация
частиц с энергией
в интервале
;
– концентрация
частиц с энергией в единичном интервале
около
.
Выполняется нормировка
,
.
Площадь
под кривой
– единица. Функция максимальна при
наиболее
вероятной энергии
.
При
график является параболой с горизонтальной
осью. При
функция экспоненциально убывает.
С ростом температуры максимум функции понижается, сдвигается вправо и увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей энергией, уменьшается вероятность обнаружить частицу с низкой энергией.