
- •Распределение максвелла–больцмана
- •Распределение по координатам и импульсам
- •Распределение Максвелла
- •Распределение по импульсам
- •Распределение по скоростям
- •Средняя и средняя квадратичная проекции скорости
- •Распределение в сферических координатах
- •Распределение по модулю скорости
- •Наиболее вероятная энергия
- •Средняя энергия
- •Поток частиц
- •Поток импульса
- •Поток энергии
- •Вытекание газа из отверстия сосуда в вакуум
- •Термоэлектронная эмиссия
- •Время выхода частицы из потенциальной ямы
- •Распределение Больцмана
- •Получение распределения
- •Формула Больцмана
- •Газ в центрифуге
- •Ориентационная поляризация диэлектрика
- •Термодинамические потенциалы Основные положения
- •Химический потенциал системы
- •Электрохимический потенциал
- •Внутренняя энергия
- •Равновесие двухфазной системы
- •Вычисление химического потенциала
- •Активность
- •Распределение частиц по уровням энергии
- •Среднее число частиц в состоянии равно активности
- •Химический потенциал равен энергии уровня со степенью заполненности единица
- •Термодинамический потенциал Гиббса
- •Большое каноническое распределение
- •Распределение микросостояний по фазовому пространству
- •Интеграл состояния
- •2. Распределение электронов у поверхности металла
- •3. Капля жидкости в насыщенном паре
- •4. Заряженная капля в насыщенном паре
- •Вопросы коллоквиума
- •Вопросы экзамена
Активность
Активность системы
характеризует
относительный вклад упорядочивающих
и хаотических процессов системы в
виде баланса между химическим потенциалом
и тепловой энергией. При
система упорядочена, при
система хаотична.
Используем (2.62)
,
находим
.
(2.62б)
Для газа с поступательным движением частиц
,
получаем
.
(2.62в)
При повышении температуры и уменьшении концентрации частиц активность упорядочивающих процессов понижается.
Для гелия при нормальных условиях
,
из (2.62а) и (2.62б) получаем
,
.
Классический газ соответствует высоким температурам, низким концентрациям, большим расстояниям между частицами, когда преобладают силы притяжения, поэтому химический потенциал отрицательный и активность мала
,
.
Распределение частиц по уровням энергии
Возможные
значения энергии частиц системы
рассматриваем как множество близко
расположенных дискретных уровней, или
состояний. Частицы идеального газа,
находящиеся на одном уровне энергии,
или в одном состоянии, отличаются
проекциями импульса и положениями в
пространстве. Найдем среднее число
частиц
в одном состоянии с энергией ε для газа
с фиксированной температурой и
концентрацией.
Для
трехмерного газа среднее
число частиц в единице объема с энергией
в интервале
описывается распределением Максвелла
по энергии (2.48а)
.
Концентрацию n выражаем через химический потенциал, используя (2.62а):
,
тогда
,
Множитель
выражаем через энергетическую плотность
состояний в единице объема (П.2.5), или
число уровней в единичном интервале
энергии:
.
Распределение Максвелла получает вид
,
или
,
(П.7.6)
где
– число частиц в интервале энергии ;
– число уровней
в интервале
.
Тогда среднее число частиц на уровне с энергией , или заполненность уровня:
(П.7.7)
где
– активность системы. Функция (П.7.7)
называется
распределением
Максвелла–Больцмана
по состояниям.
Распределение по состояниям показано на рисунке. Ось энергии направлена вертикально, уровни энергии изображены горизонтальными линиями, частицы показаны кружочками. Из (П.7.7) следует:
Чем выше уровень энергии, тем меньше на нем частиц;
При низкой температуре заполнены лишь нижние уровни;
Среднее число частиц в состоянии равно активности
.
При повышении температуры частицы переходят между уровнями снизу вверх, заполняя верхние уровни и освобождая нижние;
Химический потенциал равен энергии уровня со степенью заполненности единица
.
Для
классического газа уровень химического
потенциала находится в нефизической
области
,
показанной пунктиром на рисунке;
6.
Площадь под кривой
в интервале
пропорциональна температуре
.
На рисунке учтено, что с ростом температуры химический потенциал и активность газа уменьшаются согласно (2.62а) и (2.62в).
Среднее число частиц в единичном интервале энергии около
(П.7.8)
равно произведению числа состояний в единичном интервале энергии на число частиц в одном состоянии.
Для He при , , со средней энергией молекулы
,
ранее получено
,
.
Из (П.2.5)
с
учетом
при
находим
,
,
.
Несмотря
на малую степень заполненности уровней
энергии
,
число частиц, приходящихся на интервал
в один электрон-вольт около среднего
значения энергии, достигает величины
.
Это связано с чрезвычайно большой
плотностью состояний g,
вызванной малостью постоянной Планка.