Распределение максвелла–больцмана
Получим распределение частиц идеального газа при температуре T во внешнем поле по координатам, скоростям, импульсам и энергии.
Распределение по скоростям без внешнего поля получил Дж. Уотерстон в 1843 г. и Джеймс Максвелл в 1859 г.
Распределение по импульсам и координатам во внешнем поле установил Людвиг Больцман в 1866 г.
Распределение по скоростям, импульсам и энергии без внешнего поля называется распределением Максвелла.
Распределение по координатам во внешнем поле – распределением Больцмана.
Распределение по координатам и импульсам
N тождественных частиц идеального газа во внешнем поле при фиксированных температуре и объеме описываются каноническим распределением
,
где
(2.17)
– каноническое
распределение частицы
;
.
Для
трехмерного газа с поступательным
движением во внешнем поле с потенциальной
энергией
используем
,
,
.
Кинетическая энергия, зависящая от импульса, и потенциальная энергия, зависящая от координат, являются слагаемыми гамильтониана. В каноническом распределении гамильтониан находится в показателе экспоненты. Поэтому распределения по координатам и импульсам являются сомножителями в результирующем распределении
,
,
где
– распределение
Максвелла,
т. е. вероятность обнаружения импульса
частицы в единичном интервале около
значения p;
распределение
Больцмана,
т. е. вероятность обнаружения координаты
частицы в единичном интервале около
значения r.
Распределение Максвелла
Частицы в газе при температуре T имеют различные скорости, вызванные тепловым движением – от очень малых до сколь угодно больших. Для трехмерного идеального газа атомов без внешнего поля учитываем лишь поступательное движение. Получим распределения по импульсам, скоростям, энергиям в декартовых и сферических координатах.
Распределение по импульсам
В декартовых координатах
,
,
.
Каноническое распределение для частицы
получает вид
.
Интегрируем
по координатам, учитываем
,
тогда
(2.41а)
– вероятность
обнаружения частицы с импульсом в
интервале
,
где
.
Распределение по скоростям
В (2.41а) заменяем
,
,
находим распределение по трем проекциям скорости
(2.41)
– вероятность
обнаружения частицы со скоростями в
интервале
.
Интегрируем
(2.41) по
и
в пределах
(–¥,
¥),
используем интеграл Пуассона
,
,
получаем
вероятность
обнаружения частицы с проекцией скорости
в интервале
,
(2.42)
где функция распределения по проекции скорости
(2.42а)
– относительное
число частиц с проекцией скорости в
единичном интервале около
;
n – концентрация частиц – число частиц в единице объема со всеми скоростями;
– концентрация
частиц со скоростями в интервале
около
;
– концентрация
частиц со скоростями в единичном
интервале около
;
.
Выполняется нормировка
,
,
.
Следовательно:
площадь под кривой – единица;
с ростом Т максимум понижается, график расширяется, увеличивается вероятность обнаружить частицу с большей скоростью;
при
все частицы останавливаются
.