Тема 11 Дифференциальные уравнения первого порядка. Системы дифференциальных уравнений первого порядка.

11.1. Краткие теоретические сведения

Дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение, которое не содержит производных выше первого порядка от неизвестной функции. Для решения дифференциальных уравнений воспользуемся функцией rkfixed.

Функция rkfixed(y, x1, x2, npoints, D)– возвращает матрицу решений методом Рунге-Кутта системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями в векторе y, правые части которых записаны в символьном векторе D, на интервале от x1 до x2 при фиксированном числе шагов npoints. (с постоянным шагом).

y= вектор начальных условий размерности n, где n– порядок дифференциального уравнения или число уравнений в системе (если решается система уравнений). Для дифференциального уравнения первого порядка, как, например, для нашей задачи, вектор начальных значений вырождается в одну точку .

x1, x2= граничные точки интервала, на котором ищется решение дифференциальных уравнений. Начальные условия, заданные в векторе y, – это значение решения в точке x1.

npoints= число точек (не считая начальной точки), в которых ищется приближенное решение. При помощи этого аргумента определяется число строк (1+ npoints) в матрице, возвращаемой функцией rkfixed.

D(x,y)= функция, возвращающая значение в виде вектора из n элементов, содержащих первые производные неизвестных функций.

Функция rkfixed использует для поиска решения метод Рунге-Кутты четвертого порядка. В результате решения получается матрица, имеющая два столбца:

• первый столбец содержит точки, в которых ищется решение дифференциального уравнения

• второй столбец содержит значения найденного решения в соответствующих точках

11.2. Задачи для выполнения лабораторных работ

Задача 1.

Решить численно дифференциальное уравнение:

на отрезке [0,  ] с начальными условиями:

и построить график найденного решения.

Пояснение

Переменной ORIGIN присваиваем значение, равное 1, чтобы нумерация компонент вектора начиналась с 1.

Перед обращением к функции rkfixed присвойте переменной начальное значение, равное 1, а переменной – выражение для правой части уравнения, равное . Результаты вычислений функции rkfixed(y,x1,x2,N,D) присвоены матрице Z. Матрица Z содержит в 1-ом столбце 20 точек (узлов) в интервале [ 0,  ], а во 2-ом – приближенные значения решения в этих точках (узлах).

Задача 2.

Решить численно дифференциальное уравнение:

на отрезке [0, 3] с начальными условиями: , шаг и построить график найденного решения.

Переменной N (число шагов) присваиваем значение, равное

Системы дифференциальных уравнений первого порядка

Для того, чтобы решить систему ОДУ первого порядка, необходимо:

• определить вектор, содержащий начальные значения для каждой неизвестной функции

• определить функцию, возвращающую значение в виде вектора из n элементов, которые содержат первые производные каждой из неизвестных функций

• выбрать точки, в которых нужно найти приближенное решение

• передать всю эту информацию в функцию rkfixed.

Задача 3

Решить численно систему дифференциальных уравнений

с начальными условиями

на отрезке [0, 3 ]

Решение вычислить с шагом 0.1

Пояснение:

Переменной N (число шагов) присваиваем значение, равное

Компонентам вектора y присваиваем значение в начальной точке.

D(x,y) – это вектор-столбец правых частей.

Решение, вычисленное функцией rkfixed(y,x1,x2,N,D) присвойте матрице с именем Z.

Матрица с именем Z содержит три столбца: первый столбец содержит значения x, второй – значения y1, третий – значения y2.

Варианты задач приведены в табл. 11.1.

Таблица 11.1. Варианты задач

№ варианта	Задача
Вариант 1	Решить дифференциальное уравнение первого порядка Построить график зависимости
Вариант 2	Решить дифференциальное уравнение первого порядка Построить график зависимости
Вариант 3	Решить дифференциальное уравнение первого порядка Построить график зависимости

Окончание табл. 11.1

№ вар.	Задача
Вариант 4	Решить дифференциальное уравнение первого порядка Построить график зависимости
Вариант 5	Решить дифференциальное уравнение первого порядка Построить график зависимости
Вариант 6	Решить дифференциальное уравнение первого порядка Построить график зависимости
Вариант 7	Решить дифференциальное уравнение первого порядка Построить график зависимости
Вариант 8	Решить дифференциальное уравнение первого порядка Построить график зависимости
Вариант 9	Решить дифференциальное уравнение первого порядка Построить график зависимости
Вариант 10	Решить дифференциальное уравнение первого порядка Построить график зависимости