7. Методика изучения теорем и аксиом. Необходимые и достаточные условия и методика их изучения.

Верные и неверные сужения.

Разберем несколько примеров особого вида.

1) Нередко житель города, увидев через окно сырую панель, делает вывод, что шел дождь. Такое утверждение неверно. На улице может быть сыро или мокро и после недавней поливки. Т. о., чтобы панель оказалась сырой, не необходимо, чтобы шел дождь, но, наоборот, если дождь действительно пройдет, то этого будет достаточно, чтобы панель стала сырой.

2) Нередко учащиеся на вопрос: «При каком условии фигуры имеют равные площади (равновелики)?» - отвечают так: «Чтобы фигуры были равновелики, необходимо, чтобы они были равны». Как вы знаете, это неверно. Однако, если фигуры равны, то этого условия достаточно, чтобы их площади были равны.

Из рассмотренных примеров мы можем сделать такой вывод:

1. Если некоторое событие или факт не может иметь место без определенного условия, то это условие считается необходимым.

2. Если некоторое событие или факт обязательно имеет место при определенном условии, то это условие считается достаточным.

Система теорем. Связь необходимых и достаточных условий с прямыми и обратными теоремами.

В математике независимо от того, как был обнаружен тот или иной факт (свойство фигуры, свойство числа и т. д.), его стараются доказать, т. е. на основании правил и законов логики вывести из других уже известных правил.

В зависимости от характера изучаемого материала, наличия учебного времени, уровня развития учащихся и других факторов учителя выбирают один из следующих способов ознакомления учащихся с новыми мат. предложениями. 1. учащиеся подготавливаются к самостоятельному формулированию определения, аксиомы, к «открытию» теоремы. 2. учащиеся готовятся к сознательному восприятию, к пониманию нового мат. предложения, формулировка которого сообщается в готовом виде. 3. учитель сам формирует новые мат. предложения, а затем сосредотачивает усилие учащихся на их усвоении и закреплении.

Математические предложения, которые доказываются, называются теоремами. Доказательство всякой теоремы опирается на другие предложения, истинность которых установлена ранее. Т. к. процесс доказательства должен иметь начало и какая-либо теорема должна быть первой, то, очевидно, в основу науки должны быть положены некоторые предложения, принимаемые без доказательства. Эти предложения, которые нельзя доказать, и принимаемые без доказательства называются аксиомами. Они подсказаны опытом жизненной многовековой практики. Этапы введения аксиом: 1. иллюстрация на модели. 2. формулировка аксиомы. 3 схематический чертеж. 4. схем. запись аксиомы если это возможно. (пр. аксиома измерения отрезка. Каждый отрезок имеет длину >0. длина отрезка равна сумме длин частей на которые он разбивается любой своей точкой. АС+СВ=АВ)

В каждой теореме высказывается некоторая зависимость между понятиями, утверждается, что наличие или отсутствие некоторых свойств или признаков влечет за собой наличие или отсутствие других свойств объекта. Например, в теореме «диагонали прямоугольника равны» утверждается, что наличие в параллелограмме прямого угла влечет за собой равенство диагоналей. В теореме «если делимое и делитель умножить на одно и то же число (неравное нулю), то частное не изменится», устанавливается некоторое свойство частного.

Имея некоторую теорему, из нее можно образовать новую теорему и не одну: обратную, противоположную, обратную противоположной. Исходная теорема тогда называется прямой. Истинность прямой теоремы не влечет за собой истинность обратной или противоположной теоремы.

Условие, необходимое и достаточное в доказательстве теорем, связано с прямым и обратным утверждениями, прямой и обратной теоремами.

Сопоставим зависимость между правильностью прямой и обратной (или противоположной) теоремами и этими условиями.

1. Достаточный признак может быть сформулирован так:

Если из наличия свойства А вытекает наличие свойства В, то свойство А есть признак, достаточный для существования свойства В. Примеры:

а) Если каждое из двух слагаемых сумма делится на число с, то и сумма их делится на это число. Эту теорему можно сформулировать так: Для того, чтобы сумма двух чисел делилась на некоторое число, достаточно, чтобы каждое слагаемое делилось на это число.

б) Если углы являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых, то они равны; иначе: для равенства двух углов при параллельных прямых достаточно, чтобы эти углы были внутренними накрест лежащими.

Т. о., каждую прямую теорему можно рассматривать как достаточный признак.

В некоторых случаях свойство А есть только достаточный (но не необходимый) признак для существования свойства В, это в том случае, если наличие А гарантирует существования свойства В, но В может существовать и без наличия свойства А.

Чтобы убедиться, что свойство А является только достаточным, но не необходимым признаком, надо установить возможность существования В при отсутствии свойства А.

2. Необходимый признак может быть сформулирован так:

Если без наличия свойства А нет и свойства В, то свойство А является необходимым признаком для существования свойства В. Пример: параллельность одной пары сторон в четырехугольнике является условием, необходимым для того, чтобы четырехугольник был параллелограммом, но еще недостаточным.

Свойство А есть признак только необходимый, но не достаточный, если без наличия свойства А не существует свойство В, но наличие свойства А еще не гарантирует существования свойства В.

Необходимое условие формулируется обычно в виде противоположной или обратной теорем. Примеры:

а) Если сумма цифр числа не делится на 9, то и само число не делится на 9.

б) Если две стороны четырехугольника параллельны, а две другие не равны, то четырехугольник – параллелограмм.

Прямую теорему можно сформулировать как необходимый признак («всякий объект М, обладающий свойством А, необходимо должен обладать свойством В»).

Теорему же обратную можно сформулировать и как признак достаточный («чтобы объект М обладал свойством А, достаточно, чтобы он обладал свойством В»).

Свойство А есть признак, необходимый и достаточный для существования свойства В, если наличие А ведет к существованию свойства В и если без наличия А не может быть В.

Можно сформулировать смысл этих двух условий, выступающих совместно, и так: если А есть признак, необходимый и достаточный для существования свойства В, то в свою очередь В есть признак, необходимый и достаточный для существования свойства А.

Необходимый и достаточный признаки, выступая совместно, выражают справедливость двух теорем: прямой и противоположной или прямой и обратной.

Утверждение «необходимые и достаточные условия» часто заменяют выражениями «тогда и только тогда» или «те и только те». Примеры:

а) На 3 делятся те, и только те числа, сумма цифр которых делится на 3.

б) Треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда сумма двух его внутренних углов равна третьему углу.

в) Проекции наклонных, проведенных из общей точки к прямой, равны только и только в том случае, когда наклонные равны.

Часто, получив задание доказать необходимое и достаточное условие для утверждения некоторого факта, решающий задачу затрудняется в установлении, какое из условий считать достаточным, а какое необходимым. Для решения этого вопроса помогает такая схема рассуждений:

1. Чтобы доказать достаточность признака А для существования свойства В, надо доказать предложение: если есть А, то есть и В (т. е. доказать прямую теорему).

2. Чтобы доказать необходимость признака А для существования свойства В, надо доказать предложение: если есть В, то есть и А или равносильное этому предложение : если нет А, то нет и В (т. е. доказать обратную или противоположную теорему).

Если из А следует В и из В следует А, то предложения А и В равносильны.