Тождественные преобразования и вычисления показательных и логарифмических выражений

Для корней нечетной степени справедливо равенство . В самом деле, , т.е. число – есть корень -й степени из . Но такой корень при нечетном единственный. Следовательно, .

Замечание 1: Для любого действительного

Замечание 2: Удобно считать, что корень первой степени из числа равен . Корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а корень третьей степени называют кубическим корнем.

Напомним известные свойства арифметических корней -ой степени.

Для любого натурального , целого и любых неотрицательных целых чисел и справедливы равенства:

1.

2.

3.

4.

5. .

Степень с рациональным показателем.

Выражение определено для всех и , кроме случая при . Напомним свойства таких степеней.

Для любых чисел , и любых целых чисел и справедливы равенства:

Отметим так же, что если , то при и при .

Определение: Степенью числа с рациональным показателем , где – целое число, а – натуральное , называется число .

Итак, по определению .

При сформулированном определении степени с рациональным показателем сохраняются основные свойства степеней, верные для любых показателей (разница заключается в том, что свойства верны только для положительных оснований).

§2. Показательная функция.Определение: Функция, заданная формулой (где , ), называется показательной функцией с основанием .

При любых действительных значениях и справедливы равенства

Эти формулы называют основными свойствами степеней.

Можно так же заметить, что функция непрерывна на множестве действительных чисел.

§3. Логарифмическая функция.Определение: Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую нужно возвести основание . Что бы получить число .

Формулу (где , и ) называют основным логарифмическим тождеством.

При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции:

При любом ( ) и любых положительных и выполнены равенства:

1. 2. 3. 4.

5. для любого действительного .

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Например, часто используется формула перехода от одного основания логарифма к другому: .

20. Уравнения в школьном курсе математики 5-6, 7-9, 10-11, 6-8, 9-10.

С помощью уравнений на символическом языке записываются важнейшие задачи, связанные с познанием реальной действительности. Очевидно, этой ролью уравнений в естествознании определяется их роль в школьном курсе математики. При изучении любой темы уравнения могут быть использованы, как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой матем. деятельности учащихся. Операции над числами и свойства этих операций, ф-ции и свойства ф-ций, метрические соотношения между элементами геометрических фигур, а также связанные с этими вопросами тождества и тождественные преобразования в процессе изучения могут находить отражение в упражнениях на решение уравнений. Например, ознакомившись с распределительным законом умножения относительно сложения, учащиеся могут применить его к решению уравнений вида: (х + 5)*2 = 16 и 14*х + 27*х = 656.

Первое знакомство с уравнениями происходит в начальной школе. Учащимся не дается ни понятия уравнения, ни понятия корень уравнения. Они решают задания типа: вместо *или ð поставить число, чтобы получилось верное равенство. Например, *+7=9, 5-ð=5. В 5 классе учащиеся решают уравнения на основе правил нахождения неизвестных компонентов арифметических операций. Например, (х+20) : 5=7; х+20 - это неизвестное делимое, чтобы его найти, надо частное умножить на делитель; х+20=7*5; х+20=35; х- неизвестное слагаемое, чтобы его найти надо из суммы вычесть известное; х=35-20; х=15.

В 6 классе решение вопроса: может ли уравнение х⁴ – 25*х³ + 13*х² - 20*х + 1 = 0 иметь отрицательные корни? – не только потребует применения знаний свойств степеней рациональных чисел, но и будет способствовать развитию исследовательских способностей учащихся. Возможность разнообразить форму упражнений (решить заданное уравнение; составить уравнение по заданному множеству его решений; решить задачу с помощью уравнения; составить 2 уравнения, имеющих одно и тоже множество решений и т.д.) способствует развитию сообразительности, находчивости и инициативы учащихся.

В 7 классе учащиеся знакомятся с линейным уравнением с одним неизвестным вида ах=в при различных значениях а и в. Корень уравнения. Решение линейных уравнений с одним неизвестным. Решение текстовых задач. Понятие о линейной функции и ее график (у=кх, у=кх+в, ах+ву=с, где а,в не =0). Система уравнений в 2 неизвестными. При решении уравнения пользуются правилами выполнения действий над обеими частями выражения. Применение тождественных преобразований заключается в использовании распределительного закона (5х-3х=2, 5х-3х=(5-3)х) ТП переводит его в равносильное уравнение 2х=2. Также используются правило переноса членов из одной части уравнения в другую с изменением знака.

В 8 классе - квадратным уравнением, решением неполного квадратного уравнения, формулой корней квадратных уравнений, решением простейших систем уравнений, решением текстовых задач с помощью квадрат.уравнений и систем. Сначала решаются неполные квадратные уравнения вида: 1)ах²+в=0, 2)ах²+вх=0. Они решаются путем разложения на множители. Показывают, что уравнения такого типа не всегда имеют корни, а если имеют, то решаются разложением на множители (1)-разность квадратов, 2) - вынесение х за скобку. Далее решают полные квадратные уравнения:

1. Выделение полного квадрата: х²-2х-3=0; х²-2х+1-4=0; (х-1)²-4=0; (х-1)²=4; х-1=2 и х-1= -2; х=3 и х= -1.

2. Изучается формула дискриминанта, и решаются квадратные уравнения с его использованием.

3. Угадывание с помощью обратной теоремы Виета (т.е. известны коэффициенты - находим корни).

В 7 классе решаются системы линейных уравнений, а 9 классе системы двух квадратных уравнений. В 8 классе, когда изучают арифметический квадратный корень, решают простейшие и иррациональные уравнения: Ö(2х-1)=7.

В 10 классе изучаются тригонометрические уравнения. В 11 классе - показательные, логарифмические и более сложные иррациональные уравнения. В 10-11 классе формируется представление об общих способах решения всех видов уравнений, один из способов - введение новой переменной. Например, sin²x+2sinx-3=0 (если |t|≤1), 3^2х+2*3^х-3=0 (если t>0), log₅²x+2log₅x-3=0 (если tÎR), х^1/2+2*х^1/4-3=0 (если t ≥ 0) Þ t²+2t-3=0. При введение новой переменной, учащиеся должны уметь определять в каких пределах могут изменяться новые переменные.