5 Анализ и синтез в обучении математики

Анализ – это расчленение, выделение частей предмета.

Первоначально под анализом понимался прием мышления, при котором от следствия переходят к причине, породившей это следствие.

Синтез-это прием мышления, при котором от причины переходят к следствию, порожденному этой причиной

Анализ и синтез практически неотделимы друг от друга. Вместе они образуют аналитико-синтетический метод.

Анализ и синтез при доказательстве теорем

Доказать теорему значит перейти путем логических рассуждений, опираясь на ранее установленные предложения (аксиомы, теоремы, следствия), от условия теоремы к заключению.

Установление верности заключения можно вести двумя путями:

а) отправляясь от условия и пользуясь известными предложениями получаем заключение, как логическое следствие условия. Это синтетический путь доказательства.

б) отправляясь от заключения и опираясь на известные предложения показываем, что заключение есть логическое следствие условия. Это аналитический путь доказательства. Ведущим вопросом будет: что нужно знать, чтобы ответить на поставленный вопрос.

Пример 1: 7 класс, теорема

«В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой»

Д ано: ∆АВС, АВ–основание, СD-медиана, проведенная к основанию, АВ=СD

Доказать:1)СD – биссектриса; 2)СD-высота

Анализ:

Для того, чтобы доказать, что СD–биссектриса, необходимо доказать равенство углов при основании. Для этого необходимо найти треугольники, в которые они входят и доказать равенство этих треугольников. Чтобы доказать, что СD-высота, необходимо доказать, что углы АDС и ВDС прямые. Для этого достаточно установить, что они смежные и равны.

Синтез будет как простое доказательство теоремы , т.е анализ в обратном порядке.

Пример 2: «Неравенства»

Дано: а>0, b>0, a≠b

Доказать: (Полусумма кубов двух неравных положит. чисел больше куба их полусуммы).

Синтетический путь:

Рассмотрим (a+b)(a-b)²>0; 3/8(a+b)(a-b)²>0; ;

; ; .

Недостаток синтетического метода доказательства в том, что переход от одного этапа рассуждений к другому совершается как бы в слепую. Необходимость этих переходов учащимся не ясна.

Аналитический путь: Для доказательства неравенства достаточно представить его в виде квадрата: =3/8( )=3/8(a+b)(a-b)²>0.

При аналитич. методе переход от одного шага рассуждений к другому имеет свое обоснование и определенную цель. В школе желательно применение этого метода при решении задач и доказательстве теорем.

Метод восходящего анализа – это одна из форм доказательства утверждений, где правомерно используется аналитический метод. Суть его: для того, чтобы А было верным, достаточно, чтобы было верно В и т.д.

6. Математические понятия и методика их введения в средней школе.

Понятием называется мысль о предмете, выделяющая его существенные признаки. Существенными признаками называют признаки, каждый из которых необходим, а все вместе достаточные, чтобы отделить объекты данного рода от других.

Примером математического понятия может служить прямоугольник. У прямоугольника существенными признаками является: параллельность противоположных сторон, углы 90 гр, равенство противоположных сторон.

Каждое понятие может быть рассмотрено по содержанию или объему.

Содержание понятия – множество существенных признаков данного понятия.

Объем понятия – это множество объектов, охватываемых данным понятием. Например, содержанием понятия параллелограмм является: паралл противоположных сторон, равенство противоп сторон; а объемом этого понятия являются: множество параллелограммов с разными сторонами, углами (прямоугольник, ромб, квадрат).

Между объемом и содержанием понятия существует определенная зависимость: чем шире содержание, тем уже объем. Контр – пример параллелограмм и прямоугольник

Процесс раскрытия содержания понятия состоит в перечислении его признаков.

Определением называется логическая операция, с помощью которой раскрывается содержание вводимого понятия. Т.е. это перечисление необходимых и достаточных признаков, соединенных в связное предложение.

Чтобы определение было правильным с логической точки зрения, оно должно включать необходимые признаки понятия. Причем совокупность всех признаков должна быть достаточной, чтобы охарактеризовать данное понятие. Если добавить признак, независимый от остальных, то объем понятия уменьшится. Если исключить хотя бы 1 из признаков – объем понятия расширится.

Понятие может быть правильно определено несколькими способами:

1)через ближайший род и видовое отличие. Если объем понятия целиком входит в объем другого понятия, то первое понятие называют видовым, а второе – родовым. Большинство понятий школьного курса определяется формально-логически.

2)генетически (происхождение). В определении понятия указывается способ его происхождения. Например, окружность называется описанной около треугольника, если проходит через его вершины.

3)индуктивно. Равенство a_n=a_n-1+d определяет арифметическую прогрессию.

4)через абстракцию. Введение понятия геометрического тела.

5)определение – условное соглашение. Например, а⁰=1.

Основные требования к определению:

1)определение должно быть соразмерным, т.е. объемы определяемого и определяющего понятий должны быть равны. Для проверки в определении достаточно поменять местами определяемое и определяющее понятия и в начале присоединить слово «всякий». Например, параллелограмм есть многоугольник, у которого все стороны параллельны.

2)определение не должно строиться так, чтобы определяющим понятием было такое, которое само определялось с помощью определяемого понятия. Например, градусом называется 1/90 часть прямого угла ; прямой угол – содержащий 90⁰. Это тавтология.

3)определение не должно быть по возможности отрицательным, т.е. в определении надо указывать чем является объект, а не то чем он не является. Хотя в школе допускаются отрицательные определения. Например, скрещивающиеся прямые – прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости.

4)определение должно быть ясным, не допускающим двусмысленных выражений.

С точки зрения логики определение считается неправильным, если в нем есть лишние признаки.

Учитель должен знать, какие понятие в школе определяются и какие нет (не определяются: точка, прямая, плоскость). С точки зрения логики определение считается неправильным, если в нем есть лишние признаки. Учитель должен знать какие понятия в школе определяются, а какие нет (точка, прямая, плоскость)

Существует 2 метода введения матем. понятий в школе:

1. Конкретно-индуктивный. Его суть: перед введением понятия рассматривается ряд конкретных примеров, где учащиеся выделяют существенные признаки понятия. И только после этого дается определение. Этим методом в основном вводятся все определения в младших классах.

2. Абстрактно-дедуктивный. Его суть: определение вводится сразу в готовом виде без конкретного рассмотрения на примерах и образах. Например, тема «Квадратные уравнения»: дать определение ax²+bx+c=0 , мотивировать, рассмотреть частные случаи понятия, иллюстрировать конкретными примерами.

В научном курсе геометрии пред тем как дать определение нового понятия доказывается теорема существования, сводящаяся к доказательству возможности построения соответствующей геометрической фигуры.

Учитель должен правильно употреблять термины, определения и правила.