3. Факультативные курсы по математике. Содержание факультативных занятий и методика проведения (на примере одного факультативного курса)

Факультативные занятия – это форма учебной работы, которая состоит в развитии способностей и интересов учащихся, в сочетании с общеобразовательной подготовкой по данному предмету. Факультатив – это одно из средств дифференциации обучения в условиях всеобщего среднего образования. Цели: расширение кругозора, развитие математического мышления, формирование активного познавательного интереса, воспитание мировоззрения средствами углубленного изучения мат-ки, они содействуют профессиональной ориентации учащихся.

Организация: предусматриваются факультативные занятия начиная с 6 класса. Возможно создание объеденных групп из учащихся 6-7, 7-8, 8-9, 9-10, 10-11, а также межшкольные группы (15-20 чел.)

Обычно факультативный курс представляет собой систему нешкольных тем, связанные друг с другом. Каждая из них развивает из основной школьной мат-ки идей, понятий и методов. Поэтому Ф.З. необходимо соотносить с основным курсом мат-ки. Для достижения такой связи используются след. метод. приемы: 1) систематизация, когда соответствующая фак. тема изучается после того, как в основном курсе накоплен обширный, относящийся к ней материал. 2) последовательное развертывание теории, когда в основном курсе имеется начальный этап её построения, не доведенный до обобщенных результатов. 3) развернутое описание приложений, если в основном курсе они только упомянуты. и др.

Содержание: 1.История мат-ки 2.Прикладная направленность 3.Практические работы. Методы: часть материала может быть изложена лекционно.

Занятие состоит из 2 частей: лекционный метод изложения материала, решение примеров и задач.

Полезная форма работы – подготовка рефератов. План реферата составляет сам ученик, проверяет учитель и дает рекомендации по работе с литературой. В конце года выделяется время для решения задач повышенной трудности.

Также можно использовать обсуждение заданий по дополнительной литературе, доклады, экскурсии.

Ф.З. должны быть интересными, увлекательными для школьников. Занимательность изложения помогает раскрытию содержания сложных научных понятий и проблем. в этом отношении цель учителя – добиться понимания учениками того, что они подготовлены к работе над сложными проблемами, но для этого необходимы заинтересованность предметом, трудолюбие, владение навыками организации своей работы.

Методика проведения факультатива по теме «Интеграл».В теме «Интеграл» излагается понятие определенного интеграла и его приложения к геометрии, мат-ке и физике. Определенный интеграл рассматривается как прирощение первообразной функции на этом интервале. Это позволяет доступно ввести понятие интеграла и изучить его св-ва. Спец. приемы нахождения первообразной не рассматриваются. Весь теор. материал иллюстрируется решением примеров и задач. Из приложений интеграла, в первую очередь, в план занятий следует включить вычисления S и V, длины пути при прямолинейном неравномерном движении, массы стержня. Прежде чем перейти к изучению интеграла, учащиеся должны повторить понятие lim функции, её непрерывность и таблицу производных.

План изучения темы «Интеграл»: 1. Первообразная функция. 2. Таблица первообразных. Св-ва. 3. Определенный интеграл. 4. Св-ва определенного интеграла. 5. Площадь (понятие) 6. Вычисление площади. 7. Понятие объема и его вычисление 8. Принцип Кавальери и формулы Симпсона 9. Приложение опред интеграла к механике и физике: вычис-е пути, массы стержня, кол-ва электричества, работы, max давления жидкости.

1 урок. Возникновение интегрального исчисления, как и дифференциального, относят обычно ко 2 половине XVII в. и связывают с именами англ. мат-ка и механика И.Ньютона, и нем. мат-ка и философа Г.Лейбница. Дальнейшее развитие интегральное исчисление получило в трудах ученых различных стран. В России интегральное исчисление разрабатывали Эйлер, Остроградский, Чебышев, Лузин, Колмогоров и др.

Решим такую задачу. Задача: Тело движется прямолинейно со скоростью v=2t (м/сек). Найти закон движения, если за две первые секунды тело прошло 15 м.

Решение: Искомый закон движения выражается функцией, связывающей длину пройденного пути со временем. Обозначим эту функцию через S(t). Скорость прямолинейного движения равна производной пути по времени v=S^’(t). В данном случае S^’(t)= 2t. Таким образом, нам нужно найти функцию S(t), зная её производную по времени и её значение при t=2; S(t)=15. Легко проверить, что производная каждой функции S=t² + C, (1) где С – произвольная постоянная, равная 2t. Для решения нашей задачи годится не всякое значение С. Например, если бы взяли С=100, то получили бы функцию S=t² + 100, значение которой при t=2 равнялось бы 104, в то время как по условию задачи, при t=2 значение S^’ должно равняться 15.

Чтобы найти значение произвольной постоянной, используем условие: при t=2 сек получаем S = 15. Подставив эти значения t и S в равенство (1), получим 15=4+С, откуда С=11. Функция S=t² + 11 выражает искомый закон движения, ибо скорость этого движения равна 2t и при t=2 имеем S =15.

При решении рассмотренной задачи мы сначала искали по производной S^’(t)= 2t саму функцию. Таких функций оказалось бесконечное множество. Это функции S=t² + C, где С может равняться любому действительному числу. Затем из этого множества функций мы выбрали ту, которая при t=2 принимает значение равное 15. Ею оказалась функция S=t² + 11. Но мы все же не можем пока утверждать, что найденное решение S=t² + 11 является единственным, так как мы ещё не знаем, является ли множество функции (1) множеством всех функции, производная которых равна 2t.

Отыскание множества всех функций, производная каждой из которых равна заданной функции, составляет одну из задач интегрального исчисления.

Определение: Функция F(x) называется первообразной функции f(x) не сегменте [a, b], если в любой точке этого сегмента ее производная равна f(x): F’(x)=f(x), x[a,b].

Например, функция S=t² + C в рассматриваемой задаче является первообразной для функции v=2t, так как S^’(t)= 2t для всех значений t.

Убедимся, что функция F(x)=-cos(x)+C, где С – произвольная постоянная, является первообразной для функции f(x)=sinx на любом сегменте. Для этого найдем производную F(x). Имеем: F’(x)=(-cosx +C)’ = (-cos x)’ +C’=sin x = f(x).

Найти первообразные функций: 1) f(x)=2x 2) f(x)=4x³ + 1 3) f(x) = cos x

Нетрудно сообразить, что первообразными этих функций являются функции: 1) F(x)=x² + C 2) F(x) = x⁴ +x +C 3) F(x) = sin x +C – при любых значениях х и при любом значениях С.