31. Первые уроки систематического курса планиметрии в 7 классе.

Начальные понятия геометрии: Точка и пр-я, отрезок, полупрямая, угол, основные св-ва принадлежности точек и прямых, осн-е св-ва взаимного расположения точек на пр-й и на пл-ти, осн-е св-ва откладывания и измерения отр-в и углов, треугольник.

Основная цель – систематизировать наглядные представления уч-ся об основных св-вах простейших геом-х фигур, ввести терминологию, использующуюся в изложении курса.

1. Введение.

Первая тема по геометрии в 7 классе – «Основные свойства простейших геометрических фигур».

В первых пунктах систематизируются основные хорошо известные учащимся из опыта и предыдущего изучения математические свойства простейших геометрических фигур. В последствии эти свойства будут объявлены аксиомами.

Система аксиом. 2 аксиомы принадлежности точек и прямых на плоскости, 2 аксиомы меры (для отрезков и углов), откладывание отрезков и углов, аксиома существования треугольника, равного данному, аксиома параллельных.

В качестве основных понятий в курсе планиметрии Погорелова принять: точка, прямая, принадлежность (для точек и прямых), лежать между (для точек на прямой), мера (длина отрезка, градусная мера угла). Определяемые понятия: отрезок, луч (полупрямая), дополнительные полупрямые, угол, развернутый угол, треугольник, равные отрезки, равные треугольники, параллельные прямые.

Слова «аксиома», «теорема», «доказательство», «определение» вводятся лишь в конце первого параграфа, вместо них основные свойства геометрии фигур, вместо «теорема» свойство (которое можно объяснить с помощью основных свойств), «доказать» - объяснить, пояснить. Все утверждения не являются аксиомами, учащиеся должны объяснять, не апеллируя к очевидности. Рисунок следует использовать в качестве эвристического подспорья, а также для иллюстрации выводов полученных путем рассуждений. Учащиеся должны понять: нельзя использовать в рассуждениях свойства фигуры видные на чертеже, если мы не можем их обосновать, опираясь на аксиомы и теоремы доказанные ранее.

Тема урока: Точка и прямая.

Задача или цель: познакомить с историей развития науки геометрии, с основными геометрическими фигурами на плоскости и их обозначениями.

Оборудование урока: таблицы.

Геометрические фигуры

Основные геометрические фигуры b A B А

Точка С, прямая b, прямая AB •С

План изучения нового материала на доске закрыт: 1.Что изучает геометрия 2.Примеры геом-х фигур 3.Что такое планиметрия 4.Осн-е геом-е фигуры на плоскости и их обозначение.

При изложении материала следует опираться на наглядные представления о геометрических фигурах и их свойства. Многое сформулировано в 1-6 кл. Не уточнять что такое геом-я фигура вообще. Исторические сведения взять из книги Глейзера, привести примеры известных учащимся геом-х фигур. Показать модели, чертежи, обсудить св-ва какой-либо геом-й фигуры и сообщить, что геом-я – это наука о св-вах геом-их фигур. В древности свойства открывали опытным путем с помощью измерений и построений. Позже было замечено, что геом-е св-ва можно получить не проводя построений и измерений, а путем рассуждений.

Назвать осн-е геом-е ф-ры: точка, прямая, показать плакат, подчеркнуть обозначения.

Закрепление: работа с книгой: прочитать 1-й пункт уч-ка и выполнить задания с пропусками:1.Часть геом-й ф-ры есть…2.Объединение геом-х фигур есть…3.Как обозначаются точки и прямые…

Д/з: пункт 1, уметь ответить на вопросы с 1-6, заполнить альбом.

Основные св-ва принадлежности точек и прямых. Введению каждой аксиомы необходимо предполагать проведение практической работы: начертить прямую а, отметить точку A принадлежащую прямой а, отметить точку B не принадлежащую прямой а.

1.Какова бы не была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.

К фотмулировке 2-го св-ва можно подвести с помощью заданий: отметьте в тетради 2 точки C и D, линейкой через эти точки проведите прямую, можно ли это делать? И сколько таких прямых можно провести?

Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.

Основное св-во расположения точек на прямой и на плоскости.

Осн-я цель урока: 1.Сформулировать понятие «лежать между» 2.Определить понятие «отрезок» 3. Сформ-ть осн-е св-во расположения точек на прямой.

Лежит межу, разделяет, лежат по разные стороны, разделяются.

Не лежит межу, не разделяет, не лежат по разные стороны, не разделяются.

С помощью этих выражений описать различным способом рисунок, начиная с каждым разом с фразы: точки A, B, C принадлежат прямой a.

Цель: отработать терминологию.

Отрезок. Отрезком наз-ся часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками.

Из наглядных соображений сделать вывод, что из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Основное св-во распол-ия точек на прямой и не плоскости. 2.Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Основное св-во измерения отрезков.

1.Проведите прямую a. 2. Отметьте на ней 2 точки A и B. 3. Измерьте линейкой отрезок AB. 4. Отметьте на прямой AB точку C. 5. Измерьте отрезки AB и CB. 6. Сравните длину AB с суммой длин отрезков AC и CB.

AB=a, где a>0. 3.Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. AB=AC+CB. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.

Основное св-во распол-я точек относительно прямой на пл-ти.

4.Прямая а разбивает пл-ть на 2 полупл-ти.

Из наглядных соображений сделать вывод, что это разбиение обладает следующими свойствами: Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полупл-ти, то отрезок не пересек-ся прямой. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат разным полупл-тям, то отрезок пересек-ся с прямой. Эти 2 утверждения явл-ся противопол-ми по отношению друг к другу, следовательно верны и обратные утверждения.

Задача. Даны: прямая и 3 точки A, B, C принадл-е пр-й. Известно, что AB перес-т пр-ю, AC не перес-т ее. Перес-ет ли пр-ю отрезок BC?

Методика работы над задачей.

1. О каких геом-х фигурах идет речь в условии? 2. Как расположены точки относительно пр-й. 3. Что требуется установить в задаче? 4. Анализ. Чтобы установить пересекает ли прямую отрезок BC, что необходимо установить? Как располагаются концы отр-ка BC относительно пр-й.

Решение. В первых задачах учитель должен дать образец. 1. Пр-я а разбивает пл-ть на 2 полупл-ти α и β (на основе осн-го св-ва разб-я пл-ти на 2 полупл-ти). 2. Пусть Ф принадл-т одной из этих пл-тей, А α. Тогда т. А и С лежат в одной полупл-ти С α. 3. Т. к. АВ перес-т пр-ю а, то т. А и В лежат в разных полупл-х следовательно В β. 4. Т. к. т. В и С лежат в разных полупл-х, то ВС Перес-т пр-ю а. Ответ: ВС Перес-т пр-ю а.

Полупрямая (луч). Понятие луча не является новым. 1. Проведите прямую 2. Отметьте на ней т. А. 3. Отметьте т. В и С по разные стороны от т. А. 4. Назовите лучи с началом в т. А. 5. Отметьте т. D на АС.

Опр. Полупрямой или лучом наз-ся часть пр-й, к-я состоит из всех точек этой пр-й, лежащих по одну сторону от данной ее точки.

2 различные полупр-е с общей начальной точкой одной пр-й наз-ся дополнит-ми полупр-ми.

1 . 2. 3. А 4. а₁ А а₂ 5.

а₁ и а₂ – дополнительные полупр-е.

Понятие угла. В традиционных курсах геометрии понятие угла вводится как часть пл-ти. Опр-ие угла в уч-ке Погорелова отличается от традиционного. Угол определяется как фигура, состоящая из 2-х различных лучей с общей начальной точкой. В курсе геом-рии 7 кл. углы > 180 не рассматр-ся. В 9 кл. вводятся понятие плоского угла и там рассм-ся углы > 180. Обозначения:<AOB, <(p,q), <O.

Развернутый угол. 1. Проведите пр-ю, 2. Отметьте на ней точку, 3. Является ли полученная фигура углом. Опр. Угол, сторонами которого являются дополнительные полупр-е наз-ся развернутым.

Луч проходит между сторонами угла. (нарисованы различные случаи). Опр. Луч проходит между сторонами угла, если он исходит из его вершины и пересекает любой отрезок с концами на сторонах угла.

Основное св-во измерения углов. Начертите угол, измерьте его, начертите угол, проведите луч между сторонами угла, измерьте величину угла <BOC, <COA, <AOB, сделайте вывод <AOB=<BOC+<COA.

5.Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен 180. Градусная мера равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Осн-ые св-ва откладывания отр-в и углов.

6.На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и только один.

Начертите полупр-ю, обозначьте ее луч а, нач. т. О, отлож. отр-к, каждый выбер. длину. Сколько отр-в мжно отл-ть?

7.От любой полупр-й в заданную полупл-ть можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180, и только один.

Начертите полупр-ю, обозн., обозн-те нач-ю точку и в заданную полупл-ть отл-те угол.

Треугольник. Опр-е можно ввести сразу без предварительной подготовки. Опр. Треугольником наз-ся фигура, к-я состоит из 3-х точек, не лежащих на одной пр-й, и 3-х попарно соединенных отр-в. Показать модель тр-ка, а потом изобр-ть на чертеже.

Равные тр-ки. Изобр-ть на доске 2 равных тр-ка. Опр. Тр-ки наз-ся равными, если у них соответственные стороны равны и соотв-ые углы равны. В записи равных тр-в существует порядок, т. е. по записи рав-ва тр-ков можно определить какие углы равны и какие стороны равны.

Осн-е св-во существования тр-ка равному данному. 8.Каков бы ни был тр-к, существует равный ему тр-к в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Осн-е св-во параллельных. 9.Через точку, не лежащую на данной прямой, можно првести на пл-ти не более одной пр-й, парал-ой данной.

Док-во первых теорем.

В конце 1-го пар-фа вводятся термины: «аксиома», «теорема», «определение», «док-во». Намечается программа дедеуктивного построения геом-рии. Порядок введения терминологии: док-во, теорема, аксиома. Это синонимы слов обоснование, св-ва, осн-е св-во. Прежде чем ввести термин док-во, можно рассм-ть задачу: Может ли пр-я ни проходящая ни через одну из вершин тр-ка пересекать каждую его сторону. Рассм-ть чертежи, изобразить всевозможные положения пр-й относительно тр-ка: а). Все 3 вершины тр-ка лежат в одной пол-ти относительно данной пр-й, т. е. пр-я не перес-т ни одну из сторон тр-ка. б). 2 вершины лежат в разных полупл-х относительно полупр-й, т.е. пр-я перес-т одну сторону тр-ка. Надо объяснить на каком основании этот ответ получен, т. е. док-ть, что он правильный. Док-во – это рассуждения устанавливающие правильность некоторых утверждений. Отметить, что чертеж подсказывает идею док-ва, к-я должна подтверждаться ссылками на основные св-ва пл-ти. Утверждения, содержащиеся в формулировках основных св-в простейших фигур, не док-ются и наз-ся аксиомами. Прежде чем ввести термин определение спросить у уч-ся, что такое отрезок? Дать опр-е чему либо, значит объяснить что это такое. Предложение, к-е док-ся наз-ся теоремой.

Теорема: Если прямая не проходящая ни через одну из вершин тр-ка пересекает одну из его сторон, то она она пересекает только одну из 2-х других сторон.

Дано: тр. АВС, а – пр-я, , , . Пр-я а перес-т стор. АВ.

Д-ть: пр-я а перес-т либо АС, либо ВС (но не АС и ВС одновр.)

Д-во: 1. Пр-я а разбивает пл-ть на 2 полупл-ти и . 2. Отрезок АВ перес. с пр-й а, след-но т. А и В лежат в разных полупл-х относительно пр-й а. (Пусть , ). 3. Точка С лежит в одной из этих полупл-й, а). и , то отр. АС не перес. с пр. а. и , то отр. ВС перес. с пр. а. И т. д. Вывод: в обоих случаях пр-я а перес-т только один из отр-в АС или ВС. Ч. т. д.

Замечания для учителя.

Математ-е предлож-е истинность к-го устанавливается по средством док-ва (рассуждения) наз-ся теоремой. В теореме должно быть указано: а). При каких условиях рассм-ся в ней тот или иной объект (условие теоремы), б). Что об этом объекте утверждается (заключение теоремы). Чтобы легче выделить условие и заключение т-мы ее часто формулируют в виде условного предложения если, то. Док-во т-мы состоит в том, чтобы показать, что если выполн-ся условия, то из него логически следует заключение. Дедуктивный метод д-ва теорем состоит в том, что исходя из предыдущих теорем выводят необходимо вытекающие из них следствия, без предварительного рассмотрения частных случаев. В процессе дед-го умозаключения можно выделить следующие элементы: большая посылка, к-й явл-ся аксиома, ранее док-е теоремы, известные уч-ся; малая посылка, это следствия, условия или данные условия, заключение. Нередко в цепи док-в опускается та или иная посылка. В 7 классе делать такие пропуски надо очень осторожно.

При подготовке к уроку, где рассм-ся та или иная т-ма учесть: 1. Анализ формулировки теорем. Выделить условие и заключение, выяснить сущность каждого Эл-та формулировки, учесть возможные ошибки, к-е могут быть допущены при формулировке т-мы, подготовить соответствующие контр. примеры. 2. Выяснить проблемы приводящие к необх-ти д-ва теоремы. 3. Выяснить метод, прием д-ва. 4. Разделить д-ва теор., на отдельные части, на отдельные логические шаги. Применить аналитико-синтетический метод при поиске д-ва. 5. Выявить другие возможные способы д-ва. 6. Выделить понятия, предложения на к-х основано д-во (предложение требующее повторение). 7. Подобрать систему упражнений для закрепления.