Взаимно-обратные функции.

Трудности и ошибки у учеников обычно бывают с расположением графиков относительно a.

1. Обратимость функций. Сказать ученикам, что в ходе исследования различных функций они неоднократно решали такую задачу: вычислить значение функции f по данному значению x аргумента. Часто приходится рассматривать и обратную задачу: найти значения аргумента, при которых функция f принимает данное значение y .

Рассмотреть примеры [1) (имеет одно решение х=( y -b)/k); 2) (x = и x = - )].

Функцию, принимающую каждое свое значение в единственной точке области определения, называют обратимой. Т. о., при k 0 функция обратима, а функция (определенная на всей числовой прямой) не является обратимой.

Замечание. Из определения обратимой функции сразу следует, что если f обратима, а число a принадлежит области значений E(f), то уравнение имеет решение и притом только одно.

2. Обратная функция. Пусть f – произвольная обратимая функция. Для любого числа y из ее области значений E(f) имеется в точности одно значение x , принадлежащее области определения D(f), такое, что . Поставив в соответствие каждому y это значение x , получим новую функцию g с областью определения E(f) и областью значений D(f). Например, для обратимой функции (k 0) значение новой функции g в произвольной точке y задается формулой

.Выбирая для аргумента функции g привычное обозначение x, находим, что

.Если функция g в каждой точке x области значений обратимой функции f принимает такое значение y, что , то говорят, что функция g – обратная функция к f.

Функцией, обратной к функции (k 0), является функция .

Дальше можно рассмотреть пример: доказать, что функция обратима.

Если задан график обратимой функции f, то график функции g, обратной к f, нетрудно построить, пользуясь следующим утверждением:

Графики функции f и обратной к ней функции g симметричны относительно прямой y = x.

Дальше доказывается это свойство, и приводятся графики.

Если функция g – обратная к функции f, то функция g обратима и обратной к ней является функция f. Поэтому говорят, что функции f и g взаимно обратны.

Теорема: Если функция f возрастает (или убывает) на промежутке I , то она обратима. Обратная к функции f функция g , определенная в области значений f, также является возрастающей (убывающей).

26. Методика изучения тригонометрических функций в неполной школе и 9 – 11 классах средней школы.

Тригонометрические функции любого угла. (9 класс)

Основная цель: Ввести понятие sin, cos, tg, ctg произвольного угла. Сформулировать умения вычислять значение тригонометрических функций по известному значению одной из них, выполнить не сложные преобразования тригонометрических выражений.

Данную тему следует рассматривать как подготовительную к изучению в старшей школе достаточно сложных для учащихся сведений из тригонометрии. В курсе геометрии были определены синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. В данной теме тригонометрические функции определяются для произвольного угла. Кроме того, вводится понятие котангенса угла, что позволяет придать определённую симметрию полученному списку формул. Рассматриваются свойства sin, cos, tg, ctg, которые находят непосредственное применение в преобразованиях тригонометрических выражений. Знаки по четвертям, сохранение значения при изменении угла на целое число оборотов, четность cos и нечетность sin, tg и ctg. Специальное внимание уделяется переходу от радиальной меры угла к градусной мере и наоборот. Рассмотрим нахождение значений тригонометрических функций с помощью калькулятора. Формулы, выражающие соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента, занимают центральное место в данной теме. Основное внимание уделяется нахождению значений тригонометрических функций по заданному значению одной из них. Формулы приведения, а также формулы сложения и следствия из них не рассматриваются.

Тригонометрические функции в 10 – 11 классах

Основная цель: расширить и закрепить знания, связанные с тождествами преобразованиями тригонометрических выражений. Изучить свойства тригонометрических функций и познакомить учащихся с их графиками.

Особое внимание стоит уделить работе с окружностью. Она становиться основой для определения синуса и косинуса числового аргумента и используется далее для вывода свойств тригонометрических функций и решения тригонометрических уравнений. Систематизируются сведения о функциях и графиках, вводятся новые понятия, связанные с исследованием функций (экстремумы, периодичность и т.д.) и общая схема исследования функций. В соответствии с этой общей схемой проводятся исследования функций sin, cos, tg и строятся их графики.

Отметим на оси х справа от начала координат точку А и проведем через нее окружность с центром в точке О. Радиус ОА будем называть начальным радиусом.

Повернем начальный радиус около точки О на 70° против часовой стрелки. При этом он перейдет в радиус ОБ. Говорят, что угол поворота равен 70°. Если повернуть начальный ра­диус около точки О на 70° по часовой стрелке, то он перейдет в радиус ОС. В этом случае говорят, что угол поворота равен —70°. Углы поворота в 70° и —70° показаны стрел­ками на рисунке 64.

Вообще при повороте против часо­вой стрелки угол поворота считают положителъным, а при повороте по часо­вой стрелке — отрицательным.

Из курса геометрии известно, что мера угла в градусах выражается чис­лом от 0 до 180. Что касается угла поворота, то он может выражаться в градусах каким угодно действительным числом от — ∞ до + ∞

Пусть при повороте на угол а начальный радиус О А пе­реходит в радиус ОВ В зависимости от того, в какой коор­динатной четверти окажется радиус ОВ, угол а называют углом этой четверти. Так, если 0⁰<:а<с90⁰, то а — угол 1 четверти; если 90°<а<180°, то а — угол II четверти; если 180° < а < 270°, то а — угол III четверти; если 270° < а < 360°, то а — угол IV четверти. Очевидно, что при прибавлении к углу целого числа оборотов получается угол той же чет­верти

Пусть при повороте около точки О на угол а начальный радиус О А переходит в радиус ОВ . Синусом угла а называется отношение ординаты точки В к длине радиуса. Косинусом угла а называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса. Тангенсом угла а называется отношение ординаты точки В к ее абсциссе. Котангенсом угла а называется отношение абсциссы точки В к ее ординате.

Если координаты точки В равны х и у, а длина начального радиуса равна r, то sin α=y/R; cos α=x/R; tg=у/x; ctg=y/x

В курсе геометрии было показано, что значения синуса, косинусу и тангенса угла а, где 0°<а<180°, зависят только от а и не зависят от длины радиуса R. И в общем случае sin a, cos а, tg а, а также ctg а зависят только от угла а.

Выражения sin а и cos а определены при любом а, так как для любого угла поворота можно найти соответствующие значения дробей y/r и x/r. Выражение tg а имеет смысл при любом а, кроме углов поворота ±90°, ±270°, ±450°, ..., так как для этих углов не имеет смысла дробь y/x . Для выраже­ния ctg а исключаются углы 0°, ±180°, ±360°, ..., для которых не имеет смысла дробь x/y .

Каждому допустимому значению а соответствует единст­венное значение sin a, cos а_у tg а и ctg а. Поэтому синус, ко­синус, тангенс и котангенс являются функциями угла а. Их называют тригонометрическими функциями.

Можно доказать, что областью значений синуса и косинуса является промежуток [—1; 1], а областью значений тангенса и котангенса — множество всех действительных чисел. (таблица углов)

СВОЙСТВА СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА

Выясним сначала, какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей. Пусть при повороте радиуса ОА, равного R, на угол a точка А перешла в точку В с координатами х и у .

Так как sina=y/r, то знак sina зависит от знака у.

В I и II четвертях y >0, а в III и IV четвертях у<0. Значит, sin a>0, если а является углом I или II четверти, и sin a<0, если ос является углом III или IV четверти.

Знак cos a зависит от знака х так как cos a=x/r. В I и IV четвертях х > 0, а во II и III четвертях х < 0. Поэтому cos a > 0, если а является углом I или IV четверти, и cos a<O, если а является углом II или III четверти.

Так как tg a=y/x, а ctg a=x/y, то знаки tg a и ctg a за­висят от знаков х и у. В I и III четвертях х и у имеют одина­ковые знаки, а во II и IV — разные. Значит, tg a >> О и ctg a > О, если а является углом I или III четверти; tg a<0 u ctg a<0, если a является углом II иди IV четверти.

Выясним теперь вопрос о четности и нечетности тригонометрических функ­ций.

Пусть при повороте на угол а ради­ус О А переходит в радиус ОВ, а при повороте на угол -а в радиус ОС . Соединив отрезком точки В и С, получим равнобедренный тре­угольник ВОС. Луч ОА является бис­сектрисой угла ВОС. Значит отрезок ОК является медианой и высотой треуголь­ника ВОС. Отсюда следует, что точки В и С симметричны относительно оси абсцисс.

Пусть координаты точки В равны х и у, тогда координа­ты точки С равны x-у. Пользуясь этим, найдем, что sin (— а)= -y/r= - sin а,

cos(— a)=cos a tg (-a)=-tg a; ctg (-a)=-ctg a

Итак, синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией.Если при повороте радиуса О А на угол а получен радиус ОБ, то тот же радиус получится и при повороте ОА на угол, отличающийся от а на целое число оборотов. Отсюда следует, что при изменении угла на целое число оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса не изме­няются.

Периодические функции

Основные тригонометрические функции являются периодическими. Для любого х и любого kÎ Z выполняется равенство: sin (x + 2pk) = sin x, 2pk – период функции sin x k ≠ 0 Î Z.

Df:функция f называется периодической с периодом Т ≠ 0, если для любого x Î D (f) значение этой функции в точках х , х +Т, х – Т равны, т.е. f (x + T) = f (x) = f (x – T)

Период sin и cos равен 2p, tg и ctg – периодические функции с периодом p.

Верны равенства: tg (x + p) = tg (x), ctg (x +p) = ctg.

Пример: sin 2x = sin (2x + T) = sin 2 (x + T/2)

Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести на отрезке длиной Т и затем полученный график параллельно перенести на расстояние nT вправо и влево вдоль оси Ox.