19. Методика изучения тождественных преобразований в средней школе. Тождественные преобразования рациональных алгебраических выражений (целых и дробных) и иррациональных алгебраических выражений.

Изучение различных преобразований выражений и формул занимает значительную часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшие преобразования, опирающиеся на свойства арифметических операций, производятся уже в начальной школе и в IV–V классах. Но основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгебры. Это связано как с резким увеличением числа и разнообразия совершаемых преобразований, так и с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости, с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождественного преобразования, равносильного преобразования, логического следования.

Культура выполнения тождественных преобразований развивается так же, как и культура вычислений, на основе прочных знаний свойств операций над объектами (числами, векторами, многочленами и т. д.) и алгоритмов их выполнения. Она проявляется не только в умении правильно обосновать преобразования, но и в умении найти кратчайший путь перехода от исходного аналитического выражения к выражению, наиболее соответствующему цели преобразования, в умении проследить за изменением области определения аналитических выражений в цепочке тождественных преобразований, в быстроте и безошибочности выполнения преобразований.

Система приемов и правил проведения преобразований, используемая на этапе начал алгебры, имеет очень широкую область приложений: она используется в изучении всего курса математики. Освоение соответствующих видов преобразований начинается с введения формул сокращенного умножения. Затем рассматриваются преобразования, связанные с операцией возведения в степень, с различными классами элементарных функций – показательных, степенных, логарифмических, тригонометрических. Каждый из этих типов преобразований проходит этап изучения, на котором внимание сосредоточивается на усвоении их характерных особенностей.

По мере накопления материала появляется возможность выделить и общие черты всех рассматриваемых преобразований и на этой основе ввести понятия тождественного и равносильного преобразований.

Следует обратить внимание на то, что понятие тождественного преобразования дается в школьном курсе алгебры не в полной общности, а только в применении к выражениям. Преобразования разделяются на два класса: тождественные преобразования – это преобразования выражений, и равносильные – преобразования формул. В случае, когда возникает потребность в упрощении одной части формулы, в этой формуле выделяется выражение, которое и служит аргументом применяемого тождественного преобразования. Соответствующий предикат при этом считается неизменным.

Понятия тождества и тождественного преобразования, они явно вводятся в курсе алгебры VI класса. Само определение тождественных выражений не может быть практически использовано для доказательства тождественности двух выражений, и понять, что сущность тождественных преобразований состоит в применении к выражению определений и свойств тех действий, которые указаны в выражении, или в прибавлении к нему выражения, тождественно равного 0, или в умножении его на выражение, тождественно равное единице. Но, даже усвоив эти положения, учащиеся часто не понимают, почему указанные преобразования позволяют утверждать, что исходное и полученное выражение тождественны, т.е. принимают одинаковые значения при любых системах (наборах) значений переменных.

Важно так же добиться, что бы учащиеся хорошо понимали, что такие выводы тождественных преобразований, являются следствиями определений и свойств соответствующих действий.

Аппарат тождественных преобразований, накопленный в предшествующие годы, в VI классе расширяется. Это расширение начинается введением тождества, выражающего свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями: , где , – целые числа.

Различные трактовки понятия «тождество».

Иногда появляется необходимость заменить одно выражение другим более простым или более удобным для решения рассматриваемой задачи. Т.е. приходится совершать тождественные преобразования выражений. Существуют три трактовки понятия «тождество»:

1. Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством. Выражения, связанные знаком тождественного равенства, называются тождественно равными. Замена одного выражения другим, ему тождественно равным, называется тождественным преобразованием этого выражения.

Достоинства: Имеет краткую формулировку. Удобно, если рассматривается целое рациональное выражение. Недостатки: выражение нельзя считать тождественным, т.к. при а=0 оно не верно. Выражение тоже нельзя считать тождественным при а=-1, в=-4.

2. Равенство, верное при всех допустимых значениях переменных, называется тождеством. Под допустимыми значениями переменных здесь подразумеваются все значения переменных, при которых имеет смысл левая и правая части рассматриваемого равенства.

Достоинства и недостатки: Отмеченных в определении 1 недостатков не имеет определение 2 (выполняется ). Но ряд равенств по определению 2 не обладает ценностью тождества: если а тождественно в, а в тождественно с, то а тождественно с (не выполняется и ) Пример: и

3. Равенство, верное при любых значениях переменной, пар значений переменных, троек значений переменных и т.д., принадлежащих данному множеству, называется тождеством на этом множестве. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему на данном множестве, называют тождественным преобразованием этого выражения на данном множестве.

Достоинства и недостатки: Указанными недостатками определения 2 не обладает определение 3. Из определения 3 следует, что отношение тождественного равенства на данном множестве является отношением эквивалентности.

Методика введения понятия «тождество».

Найдем значение выражения 3(x+y) и 3x+3y при x=5, y=4. Подставим 3(5+4)=27, 3•5+3•4=27. Получили один и тот же результат.

Рассмотрим другие выражения: 2х+у и 2ху при х=1, у=2. Получим 2+2=4 и 2•1•2=4, верно. Но если взять х=3 и у=4, то получим разные результаты.

Опр. Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными

3(х+у)=3х+3у верно при любых значениях, является тождеством.

Опр. Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством.

Тождеством являются равенства, выражающие основные свойства действия над числами:

a+b=b+a; a+(b+c)=(a+b)+c; ab=ba; (ab)c=(ab)c; a(b+c)=ab+ac.

Тождественные преобразования выражений.

Найдем ху-хz при х=2,3, у=0,8, z=0,2.

xy-xz =2,3•0,8-2,3•0,2=1,38

xy-xz=x(y-z)=2,3(0,8-0,2)=2,3•0,6=1,38

Опр. Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или преобразованием выражения.

Различные виды тождественных преобразований.

Можно выделить следующие этапы освоения применений преобразований буквенно-числовых выражений и формул:

1. начало алгебры.

На этом этапе используется нерасчлененная система преобразований. Она представлена правилами выполнения действий над одной или несколькими частями формулы. Пример: 5х-3х=2; 5х=3х+2; 6(2-4у)+5у=3(1-3у)

Общая идея решения состоит в упрощении данных формул с помощью нескольких правил. В 1-ом задании упрощение достигается при помощи применения тождества (распределительного закона): 5х-3х=(5-3)х. Основанное на этом тождестве тождественное преобразование переводит данное уравнение в равносильное ему уравнение 2х=2.

2-ое уравнение требует для своего решения не только тождественного, но и равносильного преобразования. В таком качестве здесь используется правило переноса членов уравнения из одной части уравнения в другую с изменением знака. Видно, что уже в решении такого простого задания используются оба типа преобразования: и тождественное, и равносильное. Это положение сохраняется и для более громоздких заданий, таких, как 3-е. Цель этого этапа: достичь беглости в выполнении заданий на решение простейших уравнений, упрощение формул, задающих функцию, в рациональном проведении вычислений с опорой на свойства действий.

2. Формирование навыков применения конкретных видов преобразований

Освоение соответствующих видов преобразований начинается с введения формул сокращенного умножения. Затем рассматриваются преобразования, связанные с операцией возведения в степень с различными классами элементарных функций – показательных, степенных, логарифмических. Каждый из этих типов преобразований проходит этап изучения, на котором внимание сосредотачивается на усвоении их характерных особенностей. По мере накопления материала появляется возможность выделить и общие черты всех рассмотренных преобразований и на этой основе ввести понятия тождественного и равносильного преобразования.

3. Организация целостной системы преобразований (синтез)

В курсе алгебры и начал анализа целостная система преобразований в основных чертах уже сформированная, продолжает постепенно совершенствоваться. К ней также добавляются некоторые новые виды преобразований (например, относящиеся к тригонометрическим функциям), однако они только обогащают ее структуру. Методика изучения этих новых преобразований практически не отличаются от применяемой в курсе алгебры. Тождества, изучаемые в школьном курсе алгебры и алгебраическом материале курса алгебры и начал анализа, можно разделить на два класса:

• Тождества сокращенного умножения и тождества , а≠0

• Тождества, связывающие арифметические операции и основные элементарные функции, а также композиции элементарных функций. Большинство тождеств второго класса также имеют общую математическую основу, состоящую в том, что степенная, показательная и логарифмическая функции являются изоморфизмами различных числовых групп.

Формулы сокращенного умножения.

Урок, на котором разъясняется вывод формул сокращенного умножения, начинается с устных заданий:

1. найдите квадраты выражений: с, -4, 3m, 5x²y³

2. найдите произведение 3х и 6у, чуму равно удвоенное произведение этих выражений?

3. прочитайте выражения: а+b, a²+b², (a+b)², (x-y)²

4. выполните умножение: (х+6)(х-5)

После завершения устных упражнений, классу сообщается учебная задача: сегодня мы продолжим изучение темы умножение многочлена на многочлен.

Задание: заполнить на доске последний столбец, перемножив пары двучленов (второй столбец закрыт). На доске:

(m+n)(m+n)	(m+n)2	m2+2mn+n2
(c+d)(c+d)	(c+d)2	c2+2cd+d2
(8+n)(8+n)	(8+n)2	64+16n+n2

После того, как ребята справились с заданием, учитель просит выяснить, есть ли что-то общее в условиях и ответах, можно ли выражение в левом столбце записать короче. Открывается второй столбец. Во всех случаях результатом умножения является трехчлен, у которого первый член представляет собой квадрат первого слагаемого, 2-й – удвоенное произведение первого и второго слагаемого, 3-й – квадрат второго слагаемого. После этого записываются формулы сокращенного умножения.

Плюсы в таблице заменяются на минусы и проделывается то же самое.

Последняя часть урока – закрепление материала.