18. Методика введения иррациональных чисел.

Пусть точка О — начальная точка координатной прямой и ОЕ — единичный отрезок. С помощью отрезка ОЕ можно измерить длину любого отрезка,

Измерим, например, длину отрезка ОВ (рис. 6). Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОВ два раза, и при этом получается остаток СВ, который меньше единичного отрезка. Значит, число 2 есть приближенное значение (с недостатком) длины отрезка Чтобы получить более точный результат, разделим единичный отрезок ОЕ на 10 равных частей. Десятая часть отрезка ОЕ укладывается в остатке СВ три раза. При этом получается новый остаток DB, меньший десятой части отрезка

Число 2,3 есть приближенное значение (с недостатком) длины отрезка ОВ с точностью до ОД:

Продолжая процесс измерения, мы будем использовать сотую, тысячную и т. д. доли единичного отрезка и получать приближенные значения длины отрезка ОВ (с недостатком) с точностью до 0,01, 0,001 и т. д.

В процессе десятичного измерения могут представиться два случая: либо на каком-то шаге не получится остатка, либо остатки будут получаться на каждом шаге.

В первом случае результатом измерения окажется натураль­ное число или десятичная дробь, во втором случае — бесконечная десятичная дробь, Так как всякое натуральное число и всякую десятичную дробь можно записать в виде бесконечной десятичной дроби, то можно считать, что результатом десятичного измерения длины отрезка всегда является бесконечная десятичная дробь.

Пр 1 Пусть отрезок ОС равен 7/4 — единичного отрезка. При десятичном измерении его длины получим число 1,75 т. е. ту же десятичную дробь, что и при делении 7 на 4. Резуль­тат измерения можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби 1,75000... .

Пр 2. Пусто отрезок ОК равен диагонали квадрата, стороной которого служит еденич. отрезок. Построим на диагонали единичного квадрата новый квадрат Из рисунка видно, что площадь этого квадрата в два раза больше площади единичного квадрата. Значит, она равна 2. Так как отрезок ОК равен стороне нового квадрата, то длина отрезка ОК равна числу, квадрат которого равен 2. При десятичном измерении отрезка ОК получится беско­нечная десятичная дробь, которая не является периодической. Это объясняется тем, что среди рациональных чисел нет такого числа, квадрат которого равен 2.

Итак, десятичное измерение длин отрезков каждой точке координатной прямой, лежащей справа от начальной точки О, ставит в соответствие положительную бесконечную десятич­ную дробь. Наоборот, взяв произвольную положительную бес­конечную десятичную дробь, мы можем найти на координатной прямой справа от точки О единственную точку А, такую, что длина отрезка ОА выражается этой дробью.

Если к положительным бесконечным десятичным дробям присоединить противоположные им числа и число нуль, то получим множество чисел, которые называют действительными числами. Каждой точке координатной прямой соответствует некоторое действительное число, и каждому действительному числу соответствует точка на координатной прямой. Множество действительных чисел принято обозначать буквой R.

Бесконечные десятичные дроби могут быть периодическими и непериодическими. Бесконечные десятичные периодические дроби представляют рациональные числа. Каждое такое число можно записать в виде отношения m/n, где m — целое число, а п — натуральное. Бесконечные десятичные непериодические дроби представляют числа, не являющиеся рациональными. Их называют иррациональными числами (приставка «ир» означает отрицание). Иррациональные числа нельзя предста­вить в виде отношения m/n, где m — целое число, a n — нату­ральное. Таким образом, множество действительных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел.

Приведем примеры иррациональных чисел: 3,010010001... (единицы разделяются последовательно одним, двумя, тремя и т. д. нулями); — 5,020022000222... (число нулей и число двоек каждый раз увеличивается на единицу).

Иррациональным числом является число л, выражающее отношение длины окружности к диаметру:

pi = 3,1415926....

Действительные числа, записанные с помощью бесконечных десятичных дробей, сравнивают по тем же правилам, что и конечные десятичные дроби.

Сравним, например, числа 2,36366... и 2,37011... . В этих положительных бесконечных десятичных дробях совпадают целые части и цифры десятых, а в разряде сотых у первой дроби число единиц меньше, чем у второй. Поэтому 2,36366... < 2,37011... .

Сравним числа 0,253... и —0,149... . Первое из этих чисел положительное, а второе — отрицательное. Поэтому 0,253... >- 0,149... .

Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить (при условии, что делитель отличен от нуля), причем действия над действительными числами обладают теми же свойствами, что и действия над рациональными чис­лами. При выполнении действий над действительными числами в практических задачах их заменяют приближенными значе­ниями. Повышая точность, с которой берутся приближенные значения, получают более точное значение результата. Рассмотрим сумму чисел а и Ь, где а=1/3 , b= 1,7132....

Возьмем приближенные значения слагаемых с точностью до 0,1: а≈ 0,3, b≈1,7. Получим: a+b≈0.3+1.7=2.0 Если взять приближенные значения слагаемых с точностью до 0,01, т. е. а ≈ 0,33 и b≈1,71, то получим: а + 6≈0,33 + 1,71 = 2,04.