17. Методика обучения приближенным вычислениям.

Многочисленные приложения математических методов в различных областях знаний и жизненной практике часто осуществляются в форме решения задач на вычисление. Если среди данных в задаче имеются значения непрерывных величин (путь, время, цена, масса, давление, объем и т. д.), то они обязательно являются приближенными величинами, т. к. точное их измерение невозможно (при изготовлении измерительных приборов не может быть достигнута их идеальная точность, редко бывают точными и те данные, которые являются результатом счета). Поэтому с приближенными вычислениями и данными человек встречается чаще, чем с точными.

Изучение темы приближенных вычислений начинается с пятого класса. Дети учатся округлять десятичные дроби. Затем в седьмом классе вводятся понятия абсолютной и относительной погрешностей. С практическим же применением приближенных вычислений ученики сталкиваются уже в восьмом классе. Тогда же или в девятом классе вводится понятие верной цифры.

Учащиеся 5-го класса должны уметь выполнять округления до десятых, сотых и т. д. И указывать характер округления (является ли оно приближением с избытком или недостатком), четко знать правила округления и понимать, что на практике люди в основном имеют дело с приближенными значениями величин.

Пример введения приближенных значений чисел и их округления в 5-ом классе.

Учитель рисует на доске весы. На первом рисунке на чаше весов дыня, на другой гиря в 3 кг. Дыня перевешивает. На другом рисунке дыня и гиря на 4 кг. Перевешивает гиря. Учитель обозначает массу дыни за Х кг. По рисункам видно, что 3 < X < 4. Число 3 называют приближенным значением Х с недостатком, а число 4 – с избытком. Так же берут отрезок АВ (длина которого чуть больше 6-и см) его измеряют линейкой и говорят, что длина отрезка заключена между 6 и 7-ю см. Значит 6 – приближенное значение длины отрезка АВ (в сантиметрах) с недостатком, а 7 – с избытком. Длину АВ обозначают за у и получают, что 6<y<7. Затем вводят определение:

Если a < X < b, то а называют приближенным значением числа Х с недостатком, а b – приближенным значением Х с избытком.

Длина отрезка АВ ближе к 6-и, чем к 7-и. Поэтому она приближенно равна 6 см. Говорят, что число 6 получилось при округлении длины отрезка до целых. Если масса дыни на рисунке равна 3,7 кг, то она ближе к 4 кг, чем к 3-м кг (4 - 3,7=0,3, а 3,7 – 3=0,7, но 0,3<0,7). Значит масса дыни приближенно равна 4 кг при округлении до целых. Учитель говорит, что любое число, у которого 3 целых (кроме 3,5), а цифра десятых равна 6, 7, 8, 9 ближе к 4-м, чем к 3-м. Поэтому при округлении до целых получают 4. (3,76 » 4, знак » читается как «приближенно равно»). Если же в разряде десятых стоит цифра 0, 1, 2, 3,4, то это число ближе к 3-м, чем к 4-м (округляют до 3). Число 3,5 равноудалено от 3 и 4. Поэтому принято округлять его до большего числа (3,5 » 4).

Вводится определение: замену числа ближайшим к нему натуральным числом или нулем называют округлением этого числа до целых.

Правило округления чисел до различных разрядов: если число округляют до какого-нибудь разряда, то все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая отброшенная (или заманенная нулем) цифра равна 5-9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1. Если эта цифра равна 0-4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменений.

Далее с учащимися разбирают наиболее сложные примеры на округление: округлить число 86, 2759 до десятых; округлить до сотен тысяч число 6723401 и т.д.

При введении понятий абсолютной и относительной погрешностей в 8-ом классе тоже следует соблюдать ряд требований.

Учитель должен постараться ввести через примеры понятия и определения «приближенное значение величины с избытком и с недостатком» и через разность точного и приближенного значений ввести понятие «погрешность». Необходимо подчеркнуть, что погрешность приближения с избытком всегда положительна, а с недостатком отрицательна, что необходимо знать не характер приближения, а то, как близко оно к истинному значению.

Пример: x=2,193; a=2,1 – приближение к х с избытком , b=2,2 – с недостатком. Выясняют, какое из двух приближений числа лучше: ½x - a½=0,093 ½x - b½=0,007. Значит, модуль погрешности приближения с избытком меньше модуля погрешности приближения с недостатком. Поэтому приближенное значение с избытком лучше, т. к. меньше отличается от истинного значения числа. Определение: модуль разности точного и приближенного значений величины называется абсолютной погрешностью приближения. Следует подчеркнуть, что найти абсолютную погрешность не всегда возможно, т. к. точное значение величины не всегда известно.

В седьмом классе вводится понятие относит погрешности. При измерении толщины b стекла и длины L получили b≃ 0,4 с точностью до 0,1, а L≃ 100, 0 с точностью до 0,1. Абсолютная погрешность не превосходит 0,1 но 0,1 составляет существенную часть числа 0,4 и несуществ числа 100. Качество второго измерения выше. Для оценки качества используется относит погрешность. Относ погрешностью приближ значения наз отношение абсол погрешности к модулю приближ значения. Далее найти погрешность для этих примеров.

В восьмом классе отрабатываются приемы работы с приближенными числами. Поэтому вводится понятие стандартного вида числа (рассказывают о том, что в науке встречаются как очень большие, так и очень маленькие положительные числа, которые нужно записывать в определенном виде для удобства обращения с ними). В качестве примера берут массу атома Н=1,7*10^` 24 или давление 250=3*10^-7 мм рт. ст. Определение: записать число в стандартном виде, значит представить его как а*10^n, где nÎ Z, 1£ a < 10; n – порядок числа. Большой положительный порядок показывает, что число велико. Большой по модулю отрицательный порядок говорит о том, что число очень мало.

Вводятся так же и приемы округления результатов при выполнении арифметических действий с округленными числами и числами, записанными в стандартном виде. Пример:1) в сумме и разности в результате сохраняется столько дес знаков, сколько их имеется в том слагаемом, где дес знаков меньше. 2)при умножении (делении) приближенных чисел находят их произведение (частное) и результат округляют до стольких знаков после запятой, сколько их имеет множитель, записанный в наименее точном виде.