12.Понятие числа в школьном курсе математики.

Понятие числа пронизывает школьный курс математики с 1 по 11 класс и отличается своей первоначальностью, то есть не определяется через другие понятия. Математика отвечает на вопрос: что такое число, перечисляя свойства чисел, выраженные в аксиомах. В школьном курсе нельзя дать ответ, что такое число.

Чтобы овладеть понятием числа необходимо не только изучить каждый вид числа, но и постичь переход от одного вида к другому.

Понятие натурального числа возникло на заре человеческой цивилизации как отражение простейших потребностей деятельности людей. Существуют две схемы расширения множества натуральных чисел:

1. NZQR – логическая схема

2. N⁰Q₊QR – историческая схема

В школе реализована вторая схема, так как положительные дробные числа усваиваются легче, чем отрицательные. Но вообще этот вопрос является дискуссионным.

Построение расширения числового множества должно удовлетворять следующим условиям:

Пусть множество А расширяется до множества В, тогда А должно содержаться в В

1. Все операции, которые определены в множестве А, должны быть определены и во множестве В: если их применить в А, то получатся те же результаты, что и должны получиться в А по определению.

2. Во множестве В должна выполняться операция, которая не выполнима во множестве А (или выполнима с ограничениями)

3. Расширение В должно быть минимальным из всех возможных расширений А.

В условии 3 заключена основная цель расширения. Пример:

Построение множества Z преследует цель создать множество, в котором операция вычитания выполнялась бы без ограничений. Построение множества Q – выполнения деления (кроме деления на ноль). Построение множества R – извлечения корня из положительного числа. Построения множества С – извлечения корня из любого числа.

В школе приводят примеры практических задач, неразрешимых в известном числовом множестве. Но эти потребности не переводятся на математический язык, то есть не показывается, что они равны потребностям выполнения определенных математических операций. Например, необходимость введения отрицательного числа обосновывается с помощью задач с направленными величинами. Но не показывается, что неразрешимость этих задач обусловлена тем, что вычитание не всегда выполнимо в исходном множестве.

В математике имеются внутренние потребности, не связанные с практикой (введение мнимого числа).

Общая методика введения новых чисел:

1. Показать недостаточность известного множества, необходимость его расширения (специально подобранные задачи)

2. Показать, что неразрешимость этих задач обусловлена тем, что какая либо операция не всегда выполнима.

13. Методика изучения натуральных чисел.

Тема натурального числа – это первая тема 5-го класса. Программой она разбивается на 2 подтемы: а) натуральные числа, б) действия над натуральными числами.

Основная цель темы – систематизировать и обобщить сведения о натуральных числах, полученных учащимися в начальной школе. Учителю необходимо знать, каким запасом знаний владеет учащийся. После окончания начальной школы учащиеся должны знать:

а) структуру натуральных чисел, его разряды и классы, должны уметь прочитать и записать многозначное число, представить его в виде суммы разрядных слагаемых.

б) понимать смысл каждого арифметического действия связь между ними, знать зависимость между результатами и компонентами действия.

в) Уметь решать простейшие уравнения и основные типы простых задач

В ходе изучения темы повторяется чтение, запись, сравнение натуральных чисел. Вводится понятие координатного луча и вырабатывается умение отмечать на нем заданные числа. В данной теме устанавливаются более глубокие связи между арифметическими действиями. Уточняются их определения. Изучаются законы арифметических действий, рассматривается вопрос о их применении. В этой теме начинается формирование таких важных математических понятий, как S, V, единицы их измерения. Важный планируемый результат изучения этой темы- выработка у учащихся прочных навыков выполнения действий над нат числами. N – это первое числовое множество изучаемое еще в младших классах. Его элементы вводятся в науку или с помощью плана, либо определяются как инварианты классов равносильных конечных множеств. Надо добиться отчетливого понимания того факта, что числа, которые мы называем натуральными, применимы для счета предметов и для установления порядка элементов во множестве. От учащегося не надо требовать ответа на вопрос «Что такое N». Следует учесть, что первая фраза в учебнике в пункте N число не определение, а лишь описание, которое не является исчерпывающим.

А) N число может появиться не только при счете предметов, но и при измерении величины, и в результате действий даже с ненатуральными числами: √8:√2=2

Б) при счете N число появляется не всегда, а лишь в том случае, если объекты сосчитываемые и рассматриваются как целые неделимые предметы. Если считаются доли предметы, то в результате может получиться дробные числа.

Нужно спрашивать: 1)С какого числа начинаются нат числа? Написать число первое число N ряда. 2)Имеется в нат ряду последнее число.3)С какого числа начинается N ряд чисел.4)выписать все однозначные нат числа.