Пример решения задачи № 4

Исходные данные: М₀ = 30 кН·м, F = 10 кН, q = 20 кН/м, а = 1 м, b = 2 м, материал - сталь 10 (рис. 11).

Решение:

1. Для построения эпюр разобьем балку на два участка.

2. Аналитические выражения поперечной силы Q и изгибающего момента М_z для каждого участка имеют следующий вид в соответствии с правилом знаков.

1-й участок: 0 x₁ a

, .

При х₁ = 0: , М_z = 0.

При х₁ = а: кН,

.

Определим экстремальное значение момента на 1-ом участке.

Для этого возьмем первую производную от изгибающего момента по x и приравняем ее нулю:

, м.

Тогда кН·м.

2-й участок: 0 x₂ b

, .

При х₂ = 0: кН,

кН·м.

При x₂ = b: кН,

3. Строим эпюры Q и M (см. рис. 11).

4. Проверка правильности построения эпюр.

В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы:

на эпюре Q будет скачок на величину приложенной силы F (сечение А, рис. 11);

на эпюре М будет скачок на величину приложенного момента М₀ (сечение В, рис. 11).

На тех участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка q, эпюра Q ограничена наклонной прямой, а эпюра М – квадратичной параболой (участок АВ, рис. 11). При построении эпюры М на сжатых волокнах выпуклость параболы обращена навстречу стрелкам направления нагрузки q.

Эпюра Q представляет собой график производной от М.

На тех участках, где Q по длине участка равно нулю, момент имеет экстремальное значение.

На тех участках, где нет распределенной нагрузки q, эпюра Q ограничена прямыми линиями, параллельными базовой, а эпюра М – наклонными (участок ВС, рис. 11).

5. Расчет на прочность при изгибе.

Условие прочности: , , .

Принимаем коэффициент запаса прочности n = 2. Материал - сталь 10. Из табл. 1 Приложения для стали 10 . Тогда . С эпюры моментов:

.

Тогда .

6. Подбор размеров сечений:

а) круглое сечение. Осевой момент сопротивления круглого сечения . Из условия прочности

;

б) кольцевое сечение (d/D = 0,5). Осевой момент сопротивления кольцевого сечения:

Из условия прочности:

Тогда внутренний диаметр кольца

в) прямоугольное сечение (h/δ =2).

Осевой момент сопротивления прямоугольного сечения

Нормальные максимальные напряжения возникают в точках максимально удаленных от нейтральной оси z (рис. 12).

.

Максимальные касательные напряжения возникают в точках, лежащих на оси z (см. рис.12).

,

где Q_max=10 кН = 10000 Н, h = 0,179 м, δ = 0,0894 м,

статический момент части площади поперечного сечения относительно оси z (рис. 12):

Э пюры нормальных и касательных напряжений показаны на рис. 12;

г ) двутавровое сечение: используя таблицы прокатного сортамента из Приложения, выбираем по W_z = 476 см³ наиболее близкий номер двутавра. Выбираем двутавр номер 30, для которого: W_z = 472 см³, h = 30 см, b = 13,5 см, d = 0,65 см, t = 1,02 см, А = 46,5 см², J_z = 7080 см⁴, S_z = 268 cм³.

Максимальные напряжения будут равны

.

Имеем перенапряжение , что допустимо.

Проверка прочности по максимальным касательным напряжениям:

по III теории прочности

,

, прочность обеспечена.

Проверка по теориям прочности в точке C на границе полки и стенки:

По III теории прочности (теория максимальных касательных напряжений) эквивалентные напряжения будут равны:

,

прочность обеспечена;

д) два швеллера (составное сечение):

Так как швеллера два, то

Используя таблицы прокатного сортамента, выбираем по W_z = 238 см³ наиболее близкий номер швеллера. Выбираем № 24, для которого: W_z = 242 см³, h = 24 см, b = 9 см, d = 0,56 см, t = 1 см, J_z = 2900 см⁴, S_z = 139 cм³.

Тогда максимальные напряжения

.

Имеем недонапряжение , что допустимо.

7. Сравним расход материала для выбранных поперечных сечений.

Объемный вес стали .

а) Круглое сплошное сечение: объем элемента конструкции

где площадь сечения , длина элемента конструкции: тогда вес элемента конструкции

б) Кольцевое сечение: объем элемента конструкции где площадь сечения

длина элемента конструкции тогда вес элемента конструкции

в) Прямоугольное сечение: объем элемента конструкции V = A×l = 0,016 × 3 = 0,048 м³, где площадь сечения A = h×δ = 0,179 ×0,0894 = 0,016 м², длина элемента конструкции тогда вес элемента конструкции

г) Двутавровое сечение № 30: по сортаменту вес погонного метра полученного двутавра равен 36,5 кГ, длина элемента конструкции тогда вес элемента конструкции

д) Составное сечение из двух швеллеров № 24: по сортаменту вес погонного метра одного швеллера равен 24 кГ, длина элемента конструкции: тогда вес элемента конструкции

Анализ расхода материала показывает, что наиболее выгодным является двутавровое сечение. Наиболее невыгодное – круглое сплошное сечение.