Пример решения задачи № 2

Исходные данные: Схема на рис. 4. a = 2,6 м; b = 2,7 м; c = 1,4 м; A₁ = 26 см²; A₂ = 13см²; t₁ = 50°; F = 400 кН; ₂ = 0,5 мм.

Р ешение:

1. Статическая сторона задачи.

Определим длину первого стержня из геометрических соображений:

l₁ = = = 3,12 м.

Рассекаем стержни. Неизвестные усилия N_i направляем в положительную сторону (на растяжение стержня, рис. 5). Уравнение равновесия используем одно:

M_A= 0: N₂c - F·(c+a) - N₁·(a + b + c) cos  = 0.

П одставляя численные значения, получим:

N₂ - 2,86·F - 4,14·N₁ = 0. (1)

С тепень статической неопределимости системы определяем как разницу между числом неизвестных усилий N_i (их две) и числом независимых уравнений равновесия (одно). i = 2 – 1 = 1. Система один раз статически неопределима. Необходимо одно дополнительное уравнение.

2. Геометрическая сторона задачи.

Показываем расчетную схему в деформированном виде (рис. 6). l₁ = CC₂; l₂ = BB₁ + ₂:  BB₁ = l₂ - ₂ ;CC₁ = = из подобия -ов:  ;

l₁ = (2)

2. Ф изическая сторона задачи. Записываем уравнения закона Гука для каждого стержня:

-l₁ =

l₂ = (3)

Знак минус у усилия первого стержня проставлен потому, что на рисунке деформированного состояния этот стержень сжат.

2. Математическая сторона задачи. Решаем совместно полученные уравнения (1)-(3) и вычисляем величины неизвестных усилий в стержнях.

Уравнения (3) подставляем в (2) ;

Получим N₁ = 28300-13,8N₂ . (4)

Подставляем (4) в (1) N₂ = 24,7 кН. Из (4): N₁ = - 271 кН.

2. Проверяем прочность стержней. Вычисляем напряжения в стержнях

Условие прочности выполняется: |σ_i | ≤ [σ] 104  160; 16,7  80.

2. Определяем допускаемую нагрузку, для этого заданную внешнюю нагрузку умножаем на минимальное отношение допускаемого напряжения и расчетного напряжения в стержнях:

[F] = F·[σ] / |σ₁| = 400×160/104 = 604 кН.

З А Д А Ч А № 3

Кручение валов круглого поперечного сечения

Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен внешними крутящими моментами в соответствии с расчетной схемой, показанной на рис. 7. Требуется:

1. построить эпюру крутящих моментов;

2. определить диаметр вала из условий прочности и жесткости, принимая [τ] = 130 МПа; [θ] = 2 ^о/м; G = 8×10⁴ МПа;

3. построить эпюру углов закручивания;

Числовые данные приведены в табл. 3.

Пример решения задачи № 3

Исходные данные: Стальной вал круглого поперечного сечения нагружен внешними крутящими моментами (рис. 8). [] = 130МПа, G = 8 10⁴МПа, [] = 2°/м. Те₁ = 29 кН м; Те₂ = 12 кН м; Те₃ = 18 кН м; l₁ = 1,2 м; l₂ = 1,6 м; l₃ = 0,7 м.

Решение:

1. Эпюру М_кр строим методом сечений.

2. Определяем диаметр вала. Из условия прочности _max=  [],

где W_p= - момент сопротивления кручению.

d = = = 111 мм.

Из условия жёсткости: _max =  []; где I_p = - полярный момент инерции. d  = = 106 мм.

Таблица 3

Номер варианта	Длина участка, м			Момент, кН×м
	а	b	c	Те1	Те2	Те3	Те4
1	1,0	0,8	1,7	28	14	23	6
2	1,3	0,8	1,4	5	22	10	26
3	1,1	1,7	0,4	10	17	9	28
4	1,1	0,9	0,6	7	24	11	21
5	1,3	0,8	1,4	5	13	10	26
6	1,2	1,0	0,5	33	22	25	8
7	1,2	1,1	0,7	14	8	23	12
8	1,4	0,5	0,8	27	10	26	6
9	1,5	0,7	1,2	32	15	20	4
10	1,4	1,5	0,8	27	10	26	10
11	1,5	1,5	1,0	25	1,2	1,1	1,2
12	1,0	1,5	0,8	7	10	6	6
13	1,0	0,5	1,8	17	10	26	6
14	1,6	1,5	0,6	15	10	25	5
15	1,2	0,5	1,5	21	10	20	16
16	1,2	1,5	0,5	10	10	26	6
17	0,8	1,5	0,8	28	10	28	8
18	1,8	0,8	0,8	22	10	26	16
19	1,0	0,8	1,6	29	14	23	6
20	1,2	1,1	0,5	10	1,2	1,1	1,2

Рис. 4

Рис. 8

Окончательно принимаем большее значение и округляем до стандартного значения d = 125 мм.

Для дальнейших вычислений потребуются окончательные значения W_p и I_p : W_p = = 3,83 10⁵ мм³; I_p = = 2,4 10⁷ мм⁴.

3. Построение эпюры углов закручивания начинаем от заделки:

_BA = = - = - 0,0219 рад = -1,26°;

_CB = = - = - 0,005 рад = - 0,29°;

_DC = = - = - 0,0066 рад = - 0,38°.

Двигаясь от заделки,  алгебраически суммируем. Угол поворота свободного конца вала относительно неподвижной заделки будет равен _DА =j_BA+j_CB+j_DC = - 1,93^о (см. эпюру  на рис. 8).

4. Построение эпюры _max . На каждом i – м участке:

_i = ; _AB = - = - 91,31 МПа;

_BC = - = - 15,65 МПа; _DC = - = - 46,96 МПа.

5. Построение эпюры относительных углов закручивания . Определяем их на каждом участке.

_AB = = - = - 1,05 град/м; _CB = = - = - 0,18 град/м;

_DC = = - = - 0,54 град/м; _max = = 1,05 град/м;

Условие жесткости выполняется _max < []. 1,05 < 2 град/м.