Устойчивость плоской формы изгиба.

1. 2)

При превышении силы Р_кр возникает криволинейная форма равновесия, при которой изгиб справляется с загружением.

В двух задачах рассматриваемых в курсе сопротивления материалов о сжатии стойки и изгибе балки общими являются резкая смена видов напряженного состояния при достижении значения силы критической вершины.

В первом случае наряду со сжатием появляется изгиб, а во втором - с изгибом – кручение.

Момент смены видов напряженного состояния называется бифуркацией (2 формы).

Такое явление в строительной механике называется потерей устойчивости первого рода.

Наряду с этим видом потери устойчивости можно рассматривать потерю устойчивости второго рода, когда в конструкции нарастает деформируемое состояние скачком или резким изменением жесткости.

К – параметры изменения нагрузки.

В простейшем случае К одинаково для всех нагрузок – простое состояние.

Деформационный расчет рамы для определения потери устойчивости второго рода.

1. поперечный изгиб

EJV" = ± M = x –

2. продольно-поперечный изгиб

EJV" = x – + NV

Деформационный расчет рамы можно осуществить на основе метода перемещений, для которого должны быть использованы уточненные таблицы защемленных балок на воздействие единственных перемещений, которое учитывают влияние нормальных сил.

Рассмотрим одно из табличных состояний защемленной балки.

EJV" = ± M = - (M_A + R_Ax +NV)

V" + V = (- M_A- R_Ax)

Имеем неоднородное д. у. второго порядка, с постоянными коэффициентами, для которого решение:

V_OH = V_OO + V_ЧН

n² =

V" + n² V = (- M_A- R_Ax)

V_{OO =} C₁cos n x + C₂ sin n x

V_ЧН = Д + Е х

С₁; С₂; Д; Е – постоянные интегрирования

V' = E

V" = 0

n² (Д + Ех) = (- M_A- R_Ax) =>Д = -

E = -

V = C₁cos n x + C₂ sin n x - - (a)

V' = - C₁ n sin n x + C₂ n cos n x -

1. при х = 0; V = 0

0 = C₁n - =>C₁ = (б)

2. при х = 0; V' = 0

0 = С₂n - =>C₂ = (в)

(б) и (в) → в (а)

V = + R_A

V' = - M_A + R_A

V" = - M_A - R_A

M = - EJV" = M_Acos n x + R_A sin n x

Постоянные М_А и R_Aопределили из граничных условий на правом конце.

1. При х = L → V = 1

1 = + R_A

2. При х = L → M =0 или V" =0

0 = M_A*cos n L + R_A sin n L

Решая эти уравнения относительно М_А и R_A получим, введя следующие обозначения:

ν= nL = L (7)

M_A = - * = - *ϕ₁ (ν) (8)

R_A= * = *η₁(ν) (9)

Таблицы защемленных балок с учетом продольной силы являются корректирующими таблицы защемленных балок без N.

В них допущения учитываются с помощью специальных функций ϕ_i(ν) влияние N.

Для Q корректировка ведется с помощью функций η_i(ν) .

Лекция № 11

Расчет устойчивости сс при определении критической силы при потере устойчивости 2го рода.

Этот расчет основан на описанном выше деформационном расчете с введением этих же допущений.

Он состоит в вычислении деформационного состояния рамы в зависимости от величины нагрузки.

кq

При расчете деформационного состояния системы значение параметра К

Критическое воздействие PH определяется: (10)

В качестве - усилия, напряжения, перемещения и т.д.