Розділ 2. Методи стохастичних узагальнених градiєнтiв.

У загальнiй формi задачi оптимiзацiї систем з випадковими дискретними подiями, можна сформулювати у вигляді

minx X [F(x)= E f(x,)],

де x - вектор керованих параметрів (рішення); - випадковий параметр, визначений на ймовiрнісному просторi (Ω?,У,P); f(x,) - випадкова функцiя якостi рiшення x при значеннi випадкового параметра ; F(x) - математичне сподiвання функцiї якостi; X - допустима множина з Rn. Суттєвою особливiстю задачi є вiдсутнiсть у функцiї f(·,) хороших аналiтичних властивостей, у загальному випадку вона може бути неопуклою, негладкою i навiть розривною. Але iнодi функцiя математичного сподiвання F(x) може бути гладкою.

Бiльше того, ми часто маємо справу не з загальним класом лiпшіцевих функцiй, а з їх пiдкласом, утвореним з деяких базових (неперервно диференцiйовних) функцiй за допомогою операцiй максимуму, мiнiмуму та гладких трансформацiй. Такi функцiї належать до класу так званих узагальнено диференцiйовних функцiй, вивчених в . Як приклад доведена узагальнена диференційовність та обчислені стохастичні узагальнені градієнти функціоналу

F(x)=E min1tT ut(R(t,x,)) ,

від процесу (страхового) ризику

R(t,x,) = x1+c2x2t1iN(t,) minx2Li(),x3c3x3t, 1tT, ci >0,

де функції корисності

ut(R)=R для R≥?0 та ut(R)=(1+et)R для R<0, t0 ,

Li() - випадкові втрати; N(t,) - випадкове число таких втрат за час t; x1 - початковий капітал страхової компанії; x2 - застрахована доля втрат; x3 - рівень перестрахування; x=(x1,x2,x3).

У роздiлi 2 доводиться збiжнiсть ще одного методу мiнiмiзацiї узагальнено диференцiйованих функцiй - неопуклого аналогу відомого методу стохастичних квазiградiєнтiв Ю.М.Єрмольєва Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования, xk+1X(xkkg(xk,k)), g(xk,k)xf(xk,k), xkxkk, k=0,1,...,

де X - (багатозначний) оператор проектування на неопуклу допустиму множину X; g(x,) - вимірний за сукупністю змінних переріз субдиференціала xf(x,); k - незалежні спостереження випадкового параметра ; невід'ємні числа k, k задовольняють умовамìi

limk k = limk k =0, 0k =+, 0k2 <+. (3)

Метод майже напевне збігається до множини точок X*=x| 0F(x)+NX(x), що задовольняють необхідним умовам оптимальності, та існує границя limkF(xk)F(X*) м.н.

Для обчислення оптимального значення limkF(xk) використовуються оцінки, що випливають із нестаціонарного закону великих чисел :

Fk+1=(1k)Fk+ +kf(xk+1,k), F0=0, k=0,1,...,

де числа sk задовольняють умовам

0k1, limkk=0, 0k=+, 0Ek1+|f(xk,k) F(xk)|1+<+,

0<1. Ці оцінки можуть розглядатися як узагальнення методу Монте Карло для обчислення F(X*) за спостереженнями f(xk,k), такими, що E f(xk,k)| x0,..., xk=F(xk) F(X*) м.н.

Умови збіжності методу є більш слабкими ніж у випадку загальних ліпшіцевих функцій.

Розділ 3. Гібридний стохастичний метод.

Задача. Знайти arg min f₀(x) для заданих множин X => Rⁿ та f={x|f(x)<0}.

Припущення. (і) – функція f₀(.) неперервна та опукла до низу, (іі) – множини, Х і А – опуклі й замкнуті; (ііі) – А ∩ Х ≠ 0.

Наведений гібридний стохастичний метод пошуку екстремуму функції f₀ поєднує в собі ідеї стохастичного релаксаційного методу для розв’язування систем нерівностей і стохастичного квазіградієнтного методу для розв’язування задач нелінійного програмування.

Теорема 1. Нехай мають місце припущення і нехай n_k випадкова величина, вимірна відносно а – під алгебри В_к , така що для будь – якого числа w < ∞ знайдеться число c_w, для якого:

∑(||£^k||² + ||£^k||² / x⁰,…., x^k) < n²_k < c_w

як тільки ||x^s|| < w, s = 0, k; для деяких чисел Y, Y нормуючі множини В_к та У_к задовольняють умови:

B_k( f(x^k)(t₁(k)||x^k|| +1) + n_k) = 1;

Y<Y_k(t₂(k)||x^k|| + n_k^k) < Y

де t₁(k) = 1, якщо ||d^k|| > 0, t₁(k)= 0, якщо ||d^k|| = 0; t₂(k)= 1, якщо ||b^k|| > 0;

t₂(k) = 0, якщо ||b^k|| = 0; величини p_k , d_k, a_k, A_k і вектори b^k, d^k такі що:

p_k >0, 0 < d_k <2A_k - £_k, £_k >0, a_k > 0, A_k > 0;

Тоді випадкова послідовність { }^∞_k=0, яка породжена алгоритмом, є випадковою квазіфейєровською щодо множин Х^*.

Якщо ж, крім цього, з ймовірністю 1:

то вона збігається до деякого елемента х^* є Х^* майже напевно.

Зауваження 1. Якщо, наприклад:

f(x)= max f_і(x) = f_і(x)(x),

де функції f_i(x)- опуклі донизу і неперервно диференційовані; i(x) – індекс , на якому досягається max f_i(x) при законному х, то вектор g(x) = f_i(x)|_i=i(x) задовольняє нерівності.

Зауваження 2. Відзначимо, що на алгоритму використовується стохастичний релаксаційний метод

X^k+1=π_x(x^k-d_kb_kf(x^k)S^k)

для розв’язування систем нерівностей

f_i(x)<0, i=1,m; x є Х;

де f(x) = max f_i(x).