Переваги і недоліки мсе

В даний час область застосування МСЕ дуже широка і охвачує всі фізичні задачі, що можуть бути описані дифрівняннями.

Найбільш важливі переваги методу МСЕ наступні:

1. Застосування методу до розв’язання крайових задач, що складаються з підобластей з різними фізичними властивостями.

2. Застосування методу до підобластей з криволінійними межами.

3. Розміри елемента можуть бути змінними, це дозволяє укрупнювати чи подрібнбвати сітку розбиття області на елементи, якщо в цьому є необхідність.

4. Вхідні дані задачі можуть бути негладкими. Крайові умови задачі можуть бути розривними.

5. При складанні програми для певного класу задач за допомогою МСЕ можна вирішувати будь-яку задачу з цього класу.

Головний недолік МСЕ в складності програми і застосуванні потужної обчислювальної техніки.

Математичні основи методу мсе

1. Постановка задачі.

Нехай маємо деяку крайову задачу

Аφ, (1)

Де φ- лінійно – диференціальний оператор, наприклад, еліптичного типу:

- не залежить від 

І задається крайова умова: ВM + r =0 на Г (2)

М- відповідний лінійний оператор

r- не залежить від 

Зокрема М може задавати граничну умову першого роду, другого роду і т. д. наприклад,

а) М=

б) М=k(/n)

Таким чином ставиться крайова задача для рывняння еліптичного типу.

2.Апроксимація базисними функціями.

Як буде показано нижче, ключ до проблеми чисельного розв’язування крайових задач лежить у можливості отримання методів апроксимації функції.

Так, наприклад, в методі скінчених різниць основна увага приділяється визначенню значень невідомої функції (х) в скінченому числі точок Хі . Припустимо, що потрібно апроксимувати задану функцію  в деякій області  обмеженою замкнутою кривою Г.

Задача, що опис. диф. рівняннями (1) необхідно знайти розв’язок, що задов. певним крайовим умовам. Тому побудуємо спочатку апроксимацію , яка на граничній кривій Г приймала б ті ж самі значення , що й функція . Якщо знайти деяку функцію  , що приймає на Г ті ж самі значення, що й . Якщо знайти деяку функцiю , яка приймає однакові з  значення на Г (3) і ввести систему лінійно - незалежних базисних функцій {Nm, m=1,2,…, } (4) таких, що Nm/Г=0, m, (5) то на області  можна запропонувати

таку апроксимацію для :

(6) Nm/Г=0 Г Г

Де коефіцієнти , - деякі невідомі константи (параметри),

які обчислюються таким чином, щоб отримати хороше наближення.

Базисні функції Nm цього типу називаються функціями форми, або пробними функціями.

Спосіб визначення функцій  із системи базисних функцій Nm автоматично забезпечує той факт, що апроксимація володіє властивістю

(6) (7)

Ясно, що система базисних функцій повинна бути вибрана таким чином , щоб гарантувати покращення апроксимацій при зростанні числа М використовуваних базисних функцій. Очевидна умова подібної збіжності апроксимації така: система базисних функцій Nm повинна володіти тією ж властивістю, що комбінація  , при М∞ може скільки завгодно точно представляти функцію φ, яка дорівнює ψ Це так звана умова повноти.

Зауваження!

При великому числі базисних функцій із вибраної системи обчислювання похибка може катастрофічно нівелювати наближений розв’язок.

3. Вибір параметрів .

В методі зважених нев’язок параметри вибираються на основі вимоги , що апроксимація повинна співпадати з функцією φ в m різних довільновибраних точках області Ω. Ця вимога приводить до системи лінійних рівнянь відносно набору параметрів { , m=1,2,…,M}

Приклад:

Так, наприклад, всяку неперервну функцію φ(х) на відрізку [0,1) можна апроксимувати, вибравши одну із систем базисних функцій

а) { , m=1,2,…}

б) {N = sin max, m=1,2,… }

В даному випадку функція ψ повинна бути вибрана просто як лінійна функція , що приймає ті ж значення , що й φ, при х=0 і х=1. А параметри вибираємо таким чином , щоб =φ: х =⅓, х = ⅔

φ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 х

4. Апроксимація з допомогою зважених нев’язок.

Ми збирались апроксимувати 

Розглянемо більш загальний метод визначення сталих в апроксимації (6). В зв’язку з цим, введемо похибку або нев’язку апроксимації:

(8)

Зауважимо, що - це функція, яка залежить від координат точки із . Щоб зменшити цю нев’язку деяким чином на всій області ,будемо вимагати рівність нулю відповідного числа інтегралів від похибки, взятий із різними вагами

(9)

Тобто, {W , ℓ=1,2, ...}- множина лінійно – незалежних вагових функцій, іноді їх називають пробними. Тоді, загальну вимогу збіжності , можна записати у формі виконання умови (9) ℓ, при М. А це буде тоді , коли

R 0 у всіх точках області . Підставивши (6) у (9), для отримаємо систему рівнянь методу зважених нев’язок (9):

Позначимо (11)

(12)

Тоді отримаємо систему: , 1k,ℓ≤M (9)

В матричній формі Ка=f (10)

В розглянутій формі: (9.2)

Таким чином, ми отримали систему рівнянь методу зважених нев’язок у формі СЛАР для невідомих коефіцієнтів .

Отже, якщо відома апроксимуюча функція , визначена функція  і вибрані підходящі системи базисних функцій Nm і вагових функцій Wℓ, то розв’язуючи (10) можна отримати коеф. в апроксимації (6). На практиці можуть бути використані різні види систем вагових функцій Wℓ, що ведуть до різних методів апроксимації методом зважених нев’язок. Вони вибираються на основі методів:

1. методу початкової колокації

2. колокації по під областях

3. методу Гальоркіна

Розглянемо метод Гальоркіна . В цьому найбільш популярному методі зважених нев’язок замість вибору нової системи функції в якості вагових множників вибираються самі базисні функції, тобто (13) . Тоді в системі рівнянь (10) елементи матриці К і вектор f мають вигляд:

(14)

(15)

Варто зауважити , що симетричність матриці k забезпечує методу обчислювальні переваги. Цей метод вперш був використаний Гальоркіним і носить його ім’я

Іноді (зважену) загальну схему методу зважених нев’язок, а цей метод називається методом Бубнова-Гальоркіна.

5.Апроксимація розв’язків краєвих задач.

Повернемось до задачі (1)-(2). Слідуючи описаній методиці, будемо будувати апроксимацію для розв’язку  у вигляді (6). Функцію  і базисні функції N виберемо таким чином, щоб

М=-r (16),

MN =0 (17) , m=1,2,… на Г тому автоматично задовільняє крайовим умовам (2), при довільних коефіцієнтах. Отримаємо апроксимації похідних з (6). Якщо функції N - неперервні в розглядуваній області  і всі їх похідні існують , то з (6) маємо:

Припустимо спочатку, що всі базисні функції Nm – неперервно –диференціальні. Так, як побудований розклад (6) задов. крайовим умовам (2), то для отримання апроксимації шуканої функції , необхідно лише гарантувати, що - наближений розв’язок диференціального рівняння (1). Підставивши в диференціальне рівняння (1), отримаємо нев’язку R, яку в силу лінійності оператора L можна записати у вигляді:

(20)

L - еліптичний оператор.

Для отримання наближеної рівності =0 в  можна безпосередньо застосувати процедуру , розглянуту вище. Це дозволить знайти апроксимацію шуканої функції і. З цією метою, як і раніше , використаємо метод зважених нев’язок. Для цього виберемо деяку систему вагових функцій Wℓ і вимагаючи щоб:

(21)

Так, як загальне число невідомих =М , то застосовуючи рівняння (21), при ℓ=1,2,...М, отримаємо СЛАР , яку можна записати у вигляді (10): Ка=f (22), де коефіцієнти

(23)

Обчислюючи елем. матриці К і правої частини рівнянь, і розв’язуючи потім отриману систему, ми визначимо невідомі , m=1,...М і тим самим завершимо процес побудови наближеного розв’язку заданого диференціального рівняння. Варто зауважити, що за звичаєм матриця К є заповненою і не має тенденції до смужкової структури , характерної для матриць, які отримані в методі скінченних різниць. Можна розглянути різні вибори вагових функцій W , які розглядалися вище.

6.Одночасна апроксимація розв’язку диференціальних рівнянь і крайових умов.

Вище було показано, як можна наближено розв’язати диференціальне рівняння, використовуючи розклад по базових функціях (6) і, будуючи, апроксимуючи функцію , яка тотожньо задовольняється всім умовам задачі (1), (2). Цю умову ми дещо послабимо, оскільки це природнім чином обмежує вибір можливих базисних функцій N . Будемо вважати, що розклад аналогічний, як в (6) ,тільки без  не задовол. апріорно деякій крайовій умові або всім крайовим умовам задачі. Тоді до нев’язки по області на  добавляється нев’язка в крайових умовах

Постараємось зменшити зважену суму нев’язок на межі і по області, таким чином, щоб

(24)

Де вагові функції W можуть бути вибрані незалежно. Систему рівнянь, як потрібно розв’язати

(25)

Природні крайові умови:

При одночасній апроксимації розв’язку крайової задачі (1), (2) використання рівняння (24) може вимагати обчислення інтегралів, що включають похідні від  вздовж межі , що може викликати труднощі, якщо ці межі криволінійні , або мають інші ускладнюючі особливості. Обходять ці труднощі так. В рівнянні (24) перший доданок перетворюють таким чином:

(26)

В (16) перший інтеграл представляють так:

(27)

Де L1,D,E- оператори лінійні , диференціальні , більш нижчого порядку , ніж оператор L.

Результат підстановки для розглянутих вище задач виразу (27) у (24) називається слабим формулюванням методу зважених нев’язок, або слабкою формою рівняння методу зважених нев’язок.

Після такої підстановки певним вибором граничної вагової функції W можна добитись того, що останній доданок в (27) і частина другого доданку в (24) взаємознищуються і таким чином буде виключений інтеграл, що містить , або її похідні вздовж меж. Це буде можливо лише для певних крайових умов, які називаються природними. В загальному випадку , застосування такої процедури для крайових умов , що включають тільки задання значень самої функції, вигоди не дає, але може бути корисна при задані на межі похідної. Ще одна перевага такого перетворення полягає в певній симетрії відповідних алгебраїчних рівнянь, поряд з отриманням, взагалі кажучи, більш низького порядку похідних базисних функцій N .