1. Вступ
Поряд з розглянутими різними методами чис. розв’язку крайових задач математичної фізики існують і інші методи . Одним із них є варіаційні і проекційні методи, які зайняли в обчислювальній математиці досить важливе місце. Особливо ефективні вони в тих задачах, де шуканими є функціонали від розв’язку. Виявилось, що уже при порівняно невеликих наближеннях функціонали отримали з великою точністю. Найбільш повне теоретичне обґрунтування методів-С. Г. Міхліна, який встановив необхідність і достатність умови стійкості варіац. методів в просторах з енергетичною нормою.
Активний розвиток варіаційних методів показав і деякі їх недоліки пов’язані з трудністю побудови базисних функцій. Новий напрямок в розвитку варіаційних і проекційних методів при застосуванні їх до крайових задач крайових задач математичної фізики було розвинуто при застосуванні базисних функцій спеціальної конструкції , а саме, які відмінні від нуля в деяких порівняно невеликих областях. Перші роботи по цьому напрямку належать вченим Куран , Оганасян , Ліонс , Обен , Біргоф, Варга , і т. д. Далі ці роботи продовжені в роботах Бабушки , Стренг і Фікс , Зламал Дуглас, Шайдуров і т. д. В різницевих методах в ряді випадків є доцільним отримувати наближений розв’язок з заданою точністю за рахунок формального збільшення розмірності півпросторів (Наприклад, зменшення кроку сітки). Інший спосіб – за рахунок побудови більш точних апроксимацій вихідної задачі на основі апріорної інформації про гладкість розв’язку. Така точка зору виявилась дуже корисною і привела дослідників до досить зручних і універсальних методів побудови різницевих рівнянь на основі варіаційних методів Рітца, Гальоркіна і методу найменших квадратів.
Метод скінчених елементів (МСЕ) в даний час є одним із самих поширених методів розв’язування прикладних задач (вивчення теплових процесів , проблем динаміки рідини, розрахунків напруженого деформов. стану конструкції і т. д.). Спочатку МСЕ був запропонований інженерами. Знайшов широке застосування на практиці , але довгий час залишався поза увагою математиків. Після достатнього його дослідження математиками виявилось, що при негладких вхідних даних задачі МСЕ часто сходиться швидше, ніж метод скінчених різниць, а інколи взагалі володіє оптимальною швидкістю збіжності. МСЕ для розв’язання крайових задач суцільних серед. Вперше був застосований в середині 50-х рр. ⅩⅩ ст.. і з тих часів завоював відомість виключно корисного інженерного методу. Його основою є варіаційне числення. Диференціальні рівняння, що описують крайову задачу та відповідні крайові умови використовується для постановки варіаційної задачі, яка потім розв’язується безпосередньо. З цієї точки зору МСЕ являє собою неявне застосування методу Ріцца на окремих відрізках. ВМСЕ фізична задача замінюється кусково-гладкою моделлю.
2. Основна концепція мсе
Основна ідея МСЕ полягає в тому, що довільну шукану неперервну функцію φ(t˚, тиск, переміщення, потенціал і т. д.) можна апроксимувати дискретною моделлю, яка будується на множині кусково-неперервної функції, визначеної на скінченому числі підобластей.
Кусково - неперервні функції визначаються за допомогою значень неперервної величини в скінченному місці точок розглядуваної області. В загальному випадку неперервна величина наперед невідома і потрібно визначити значення цієї величини в деяких внутрішніх точках області. При побудові дискретної моделі поступимо наступним чином:
1.В
розглядуваній області Ω фіксують
скінчене число точок . Ці точки називаються
вузловими
або просто вузлами
(дискретизація області)
Ω
іUi
2.Значення шуканої наперед функції φ в кожній вузловій точці вважається змінною, яка може бути визначена.
3.Область визначення неперервної величини φ розбивається на скінчене число підобластей, яке називається елементарними . Ці елементи мають загальні вузлові точки , не перекриваються і в сукупності апроксимують форму області (розбиття тіла чи області на скінченні елементи).
4.Неперервна величина φ апроксимується на кожному елементі поліномом, який визначається за допомогою вузлових значень цієї величини. Для кожного елемента визначається свій поліном , але поліном вибирається таким чином , щоб зберігалась неперервність величини вздовж меж елемента (вибір схеми інтерпаляції функції в середині елемента ).
5. Виведення рівнянь для схеми в цілому.
6.Ров’язування системи рівнянь.
7.Обчислення значень інших величин.