Границы применимости класспческои механики. Принцип неопределённости.

Опыты но дифракции подтвердили, что электроны не являются материальной точкой, а представляет собой сложный материальный объект, обладающий волновыми свойствами.

В отличии от фотона электрон обладает электрическим зарядом. От -положения и распределения этого заряда в пространстве или как говорят, от его локализации зависит взаимодействие электрона с другими частицами.

Уточним, чем характеризуется пространственная локализация точечного объекта. Пусть материальная точка с массой /« движется вдоль оси X. В некоторый момент времени она занимает положение, характеризуемое координатой Х и скоростью V,,. Совокупность последовательных положений движущейся точки образует траекторию её движения.

Если известны силы, действующие на материальную точку, то по II- му закону Ньютона можно рассчитать все последовательные значения координаты и скорости движущейся частицы.

. -^ ,.dV,d{mV,}

Fy = ma^ = т

dt

dl

Обозначив mV^ через Рх, Р - импульс силы, получим „ dP.

dt

(1)

Так как mVx = Px.'ro разделив этот равенство на «т», получим:

A. dx A У,=^-яли —=-'- (2)

Р\- ил 1 у

V^ = — или — = —— т dt т

Уравнения (1) и (2) представляют собой математическую формулировку принципа причинности в классической механике. Он гласит: Если известны силы, действующие на материальную точку, то можно определить приращение ее координаты и импульса в последовательные промежутки времени и тем самым рассчитать все её движение. Иначе обстоит дело с локализацией волновых объектов. Для упрощения расчётов рассмотрим одномерное распространение волны вдоль оси ОХ. Любая волна, независимо от её природы, характеризуется некоторой волновой функцией Т. Она выражает, например плотность и давление в акустической волне, векторы Е и Н. в электромагнитной волне и т.д. Значения её различны в для точек с разными координатами «X» и изменяется с течением времени I т.е. 4' = Т(х,/). Локализация этой функции в пространстве может быть различна.

Простейшая электромагнитная монохроматическая волна, распространяющаяся вдоль оси X, изображена на рисунке.

Пунктиром показана эта же волна через время t. Такая же волна заполняет всё бесконечное пространство. Интервал координат ДЛ\ в котором заключён объект. равен бесконечности.

Импульс частицы, связанной с волной, как мы уже знаем равен

Р^-

Л

Так как волна монохроматическая А = const и Р = canst. Иными словами, интервал АР, в котором заключены все возможные значения импульса равен нулю. Таким образом,

рассмотренная волна характеризуется соотношениями AY = оо и Д/⁵ = 0.

Рассмотрим другой пример: волну, локализованную в некотором интервале AX . Такая

волна получается в результате сложения монохроматических волн с различными длинами волн.

Набор таких воли различных амплитуд с длинами воли от ^до \+АЛ показан на рисунке. Ниже показан результат из сложения так называемый волновой пакет. При такой пространственной локализации теряется смысл понятия длины волны и следовательно импульса. Чем в более узком интервале ДА" локализована волна, тем более широкий интервал длин волн ДА входит в пакет.

Следовательно,, увеличение определенности в локализации волн. т.е. уменьшение ДА", связано с возрастанием неопределенности импульса ДР.

В пределе при ДХ-> 0 имеем ДР-^оо.

Исходя из вышеизложенного можно сделать следующий вывод: электрон, так же как и фотон не может иметь одновременно определенную координату Х и импульс рх.

Соотношение между величинами ДХ и ДРх (и аналогичные им соотношение для других осей) проанализировал впервые В. Гейзенберг.

Он установил, что неопределенность в нахождении ДХ связана с неопределенностью в нахождении с ДР соотношением:

АХАР > h

Это положение носит название принципа неопределённостей

Гейзенберга. Если частицы движутся вдоль осей у и г, то аналогичные соотношения будут иметь вид:

ДуДР>Ь

Д7ДР>Ь

Чтобы пояснить принцип неопределённостей рассмотрим следующий пример. Для определения положения свободно летящей микрочастицы поставим на её пути щель, шириной ДХ, расположенную | направлению движения частиц. До прохождения частицы через щель составляющая импульса Рх, была равна нулю, т.к. щель перпендикулярна импульсу Р. Следовательно, ДР=0. Координата частицы Х может быть любой или, как говорят в квантовой физике,неопределённой.

В момент прохождения частицы через щель и после прохождения положение меняется. Вслсдствии дифракции имеется вероятность того, что частица будет двигаться в пределах угла 2(р, где (р - угол, соответствующий первому (или центральному) дифракционному максимуму. Таким образом, появляется неопределённость. ДРх= Р sintp

Из условия максимума интенсивность дифракционной решётки ровно как и для одной щели, следует, что

А

sin (р = — ДХ

Подставив это значение в предыдущую формулу, получим:

. — — л.

АР, =Р

дх

Длина волны микрочастицы, согласно формуле Де Бропля равна , h

А= Р

С учётом этого равенство примет вид:

ДХДРу = РЛ = h

Что совпадает с выражением принципа неопределенности Гейзенбер! а. Вероятность нахождения микрочастицы максимума может быть охарактеризована, уже известной нам, волновой функцией Т.

Произведение квадрата модуля волновой функции на элемент объёма dV есть ничто иное, как вероятность того, что действие микрочастицы будет обнаружено в элементе объёма dV. Т.Е.

эта вероятность = [Т = dV .

Сумма величин JTJ' = dV по всему пространству есть вероятность обнаружения данной

частицы в рассматриваемом пространстве .Так как частица существует, то она обязательно где-нибудь проявятся - это достоверно. А вероятность достоверного события равна единице. Следовательно, волновая функция должна удовлетворять условию

^У^У=\

Это условие называется условием нормировки. Условие нормировки удовлетворяется подбором постоянного множителя. В дальнейшем мы будем считать, что все волновые функции, описывающие частицу, нормированы. Знание волновой функции 4^ позволяет определять лишь вероятность процессов, но не позволяет определить процесс однозначно.

Если координаты микрочастицы не могут быть определены точно, то это происходит не из-за ограничений, накладываемых условиями опыта, а из-за того, что его положение в пространстве определяется не точными значениями X, У, Z, а интервалами ДХ, ДУ, Дг. Следовательно описание частицы с помощь, волновых функций является не субъективным, а объективным.

Вернёмся к принципам неопределённости Гейзенберга. Он отражает, как мы установили, двойственную корпускулярно-волновую природу микрочастиц. Однако его соотношение достаточно, чтобы получить ряд важных результатов. В частности он позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома, оценить размеры атома и найти минимально возможную энергию атома. Если бы, электрон упал на ядро, его координаты и импульс приняли бы определённые (нулевые) значения, что несовместимо с принципом неопределённости. Принцип неопределённости является существенной частью квантовой теории. Ограничения, налагаемые на одновременность точного нахождения координат и импульса, не зависят от точности тех приборов, которым пользуется при наблюдениях. Эта неопределённость обусловлена не грубостью приборов, а самой природой изучаемых тел. Координаты и импульс были введены в классической физике для характеристики движения тел. Как эксперимент эти классические представления не применимы в микромире или применимы с большими ограничениями. Так как в понятие «координата волны» в классической механике лишено физического смысла, то так же не имеет смысла понятие траектории частицы. Квантовая теория приводит так же к соотношению неопределённости между Е и временем I.

ДЕД1>/г

Энергия частицы в каком-либо состоянии может быть определена тем точнее, чем дальше частица находится в этом состоянии. В заключении заметим, что соотношения Гейзенберга не являются утверждением, о принципиальной ограниченности наших знаний о микромире. Они отражают лишь ограниченную применимость понятий классической физики в области микромира.

д²^ 4л-²!/^{2 0 т}..^-^wl_кp=o

их-²

Так как

то

у__ V²

J_

А²

В свою очередь длина волны де Бройля А = —— тогда:

mV

Y__m_V_ v² ~ h¹

Следовательно

дх²

h²

Представим произведение т V как

где Е - полная энергия частицы

u - потенциальная энергия частицы

mV² 2

С учётом этого наше уравнение примет вид:

УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СЛУЧАЯ, КОГДА МИКРОЧАСТИЦА ДВИЖЕТСЯ ВДОЛЬ ОСИ X:

В общем случае, когда частица движется в любом произвольном направлении в пространстве, уравнение Шредингера имеет вид:

где

^,^^L^_,^^0 h

5^ В^Р ^

дх² ду² дг²

В заключении следует отметить, что уравнение Шредингера справедливо для скоростей движения частицы значительно меньших скорости света.

Волновое уравнение для скоростей сравнимых со скоростью света было получено Дираком. Рассмотрение его выходит за рамки нашего курса.

Электрон в «потенциальном» яшике.

Уравнение Шредингера позволяет решать практические задачи и находить различные состояния частиц в разных внешних полях. Отдельные важные примеры могут быть разобраны и без полного решения уравнения Шредингера, используя лишь представление о волновой функции Т и учитывая ограничения, накладываемые на неё специфическими условиями данной задачи.

Исследуем поведение частицы в бесконечно глубокой, одномерной потенциальной яме. Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси Х и её движение ограничено координатами Х = О и Х = / .Соответственно потенциальная энергия частицы равна нулю при О <. Х <^1 и оо при Х -< О и Х > I (см. рис.), т.е. электрон находится в потенциальной яме.

За пределы потенциальной ямы электрон попасть не может. Поэтому вероятность обнаружения частицы за пределами ямы равна нулю и, следовательно

U

^V(0) = О Ч^/) = О

Так как внутри потенциального ящика и = О уравнение Шредингера принимает вид:

сг Т 8л-²/»^

h²

О

Х

Решениями этого уравнения будут функции

^ ^Asm^X

' /I

где

h

Второе решение не удовлетворяет нашим граничным условиям, т.к. приА" =0 4^ = В,

а как мы знаем Т(0) = О. Остаётся только первое решение:

^^Asm^X л

При Х = I У, должно быть также равно нулю. Следовательно:

. 2л sin—1=0

Л

2тг_ Л

где П= 0,1,2,3..... Откуда

21 п+\

(1)

Запишем формулу для кинетической энергии микрочастицы „ mV²

2

как

Е=

m_Y__P^_ 1т 1т

где Р - импульс частицы. Длина волны де Бройля связана с импульсом частицы соотношением

А=А Р

Откуда Тогда

Р-Л

А

Е=

И²

А² • 1т

Подставив вместо А —нее значение из формулы (1) получим:

Е=

h\n+\)² 8w/²

Мы получили очень важный результат: Энергия микрочастицы, находящейся в «потенциальном яшике» может иметь только дискретный ряд значений Е^Е^Е^....,

соответствующий значениям П =0,1,2,3.

Эти значения называются уровнями энергии, а число П - квантовым чпс.ю.ч.

Таким образом, согласно уравнению Шредингера энергия микрочастицы квантуется, а энергетический спектр частицы - дискретный.

Следует отметить, при п= О энергия микрочастицы не

равна нулю, а равна Е„ = ——;- .Эту энергию 8/»/'

^f называют iiy.ieeoii. Она показывает, что микрочастицы никогда не прекращают своего движения.

Прохождение микрочастиц сквозь потенциальный барьер.

Допустим, что область, где может двигаться микрочастица, разделена на две части