КИНЕМАТИКА:

1. Кинематика точки (заданы уравнения движения y(t), X(t), траектория, скорость, ускорение).

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Под движением мы понимаем в механике изменение, с течением времени положения данного тела в пространстве по отношению к другим телам.

Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета.

Изображать систему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны).

Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем, как трехмерное евклидово пространство.

Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время   принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т, е. как функции времени  .

Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано).

Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) - значит задать положение этого тела (точки) относительно  данной системы отсчета в любой момент времени.

Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих дан­ное движение.

Способы задания движения точки:

Для задания движения точки можно применять один из следую­щих трех способов:

1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.

1.  Векторный способ задания движения точки.

П усть точка М движется по отношению к некоторой си­стеме отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор  , проведенный из на­чала координат О в точку М (рис. 1).

При движении точки М вектор   будет с течением времени изме­няться и по модулю, и по направлению. Следовательно,    является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргу­мента  : .                                          

Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор   и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора  , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.

2. Координатный способ задания движе­ния точки.

Положение точки можно непосредственно опре­делять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.1), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон дви­жения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент вре­мени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т. е. знать зависимости  ,  ,  .

Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр  .

Нетрудно установить зависимость между векторным и координатным способами задания движения.

Разложим вектор   на составляющие по осям координат:  

где  - проекции вектора на оси;  – единичные векторы направленные по осям, орты осей.

Так как начало   вектора находится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M. Поэтому 

                                            

Пример 1: Движение точки задано уравнениями

Чтобы  исключить время, параметр t, найдём  из первого уравнения   из второго   Затем  возведём  в  квадрат  и  сложим.  Так  как   получим   Это уравнение  эллипса с полуосями 2 см и 3 см (рис.2).

Н ачальное  положение  точки M₀ (при t=0) определяется  координатами    

Через 1 сек. точка будет в положении M₁ с координатами

 

Примечание.

Движение точки может быть задано с помощью и других координат. Например, цилиндрических или сферических. Среди них будут не только линейные размеры, но и углы. При необходимости, с заданием движения цилиндрическими и сферическими координатами можно познакомиться по учебникам.