Вопрос № 28 пердставление числовой информации. Форма с плавающей точкой

Обработка очень больших и очень маленьких чисел производится в экспоненциальной форме. В этом случае положение запятой в записи числа может изменяться. Поэтому представление в памяти чисел в экспоненциальной форме называется представлением с плавающей точкой (запятой). Любое число А в экспоненциальной форме представляется в виде:  А = m_А   q^p, где m_A - мантисса числа, q - основание системы счисления, p - порядок числа. Для однозначности представления чисел c плавающей точкой используется нормализованная форма, при которой мантисса отвечает условию: q^-1   |m_А| < 1. Это означает, что мантисса должна быть правильной дробью и иметь после запятой цифру, отличную от нуля. Число в форме с плавающей точкой занимает в памяти компьютера четыре или восемь байт. При записи числа с плавающей точкой выделяются разряды для хранения знака мантиссы, знака порядка, порядка и мантиссы. Любое вещественное число в современных компьютерах представляется в экспоненциальной форме с нормализованной мантиссой. При этом мантисса является правильной двоичной дробью, а порядок - целым числом. Пример. Преобразуйте десятичное число 888,888, записанное в естественной форме, в экспоненциальную форму с нормализованной мантиссой. Решение. 888,888 = 0,888888   10³  Нормализованная мантисса m_А = 0,888888, порядок p = 3.

Представление чисел в форме с плавающей точкой очень удобно для решения научных и инженерных задач. Нормализованное представление чисел не только позволяет сохранить в разрядной сетке большое количество значащих цифр, но также упрощает действие над порядками и мантисами.

Для представления чисел с плавающей точкой (ЧПТ) используется полулогарифмическая форма записи числа:

     N = ± mq ^{± p}

где q- основание системы счисления,  p - порядок числа, m - мантисса числа N.

Положение точки определяется значением порядка  p. С изменением порядка точка перемещается (плавает) влево или вправо.  Пример.

     125₁₀=12.5*10¹=1.25*10²=0.125*10³=0.0125*10⁴=...

Для установления однозначности при записи чисел принята нормализованная форма записи числа. Мантисса нормализованного числа может изменяться в диапазоне:  1/q ≤ | m | < 1. Таким образом в нормализованных числах цифра после точки должна быть значащей.

Пример.

Для представления чисел в машинном слове выделяют группы разрядов для изображения мантиссы, порядка, знака числа и знака порядка:  а) представление чисел в формате полуслова

 

б) представление чисел в формате слова

Наиболее типично представление ЧПТ в формате слова (32 разряда).Таким образом числа с плавающей точкой позволяют увеличить диапазон обрабатываемых чисел, но при этом точность изображения чисел определяется только разрядами мантиссы и уменьшается по сравнению с числами с фиксированной точкой. При записи числа в формате слова диапазон представимых чисел будет от -1·2¹²⁷ до 1·2¹²⁷ (2¹²⁷10³⁸), а точность определяться мантиссой, состоящей из 23 разрядов. Точность может быть повышена путем увеличения количества разрядов мантиссы. Это реализуется путем представления чисел с так называемой двойной точностью (используется формат двойного слова):