12. Прогнозирование на основе сплайн-функций.

Как показывает практика разработки прогнозов, опи­сание будущих состояний прогнозируемого объекта или воз­можных траекторий развития этого объекта в будущем может быть получено с помощью различных методов, которые не являются непосредственно методами прогнозирования. К таким методам можно отнести вариационное исчисление, теорию ка­тастроф, описание развития систем с помощью дифферен­циальных или разностных уравнений, сплайн-функций, эле­менты теории оптимального управления и т.д.

Сплайн-функции. Естественным обобщением процедуры получения оценок с использованием критерия максимального приближения модельных значений к реальным является метод сплайн-функций. Это обобщение достигается за счет того, что в случае использования сплайн-функций добавляются новые ограничения на критерий, например условие гладкос­ти, т.е. отсутствие сколько-нибудь существенных колебаний в модельных значениях. Могут быть и другие дополни­тельные условия, которые вводятся исходя из специфики ис­ходной информации, описывающей конкретный объект. В качестве исходной используется информация, представленная временными рядами или в виде набора зависимой и соответ­ствующих ей независимых переменных, т.е. информация, аналогичная той, которая используется для регрессионного анализа.

Для модельной информации, заданной в виде временно­го ряда, можно использовать набор многочленов, коэффи­циенты которых определяются из условия гладкого сопряже­ния многочленов на соседних промежутках. Получаемые при этом гладкие кусочно-многочленные функции с однородной динамикой (составленные из многочленов одной и той же сте­пени) называют сплайнами.

Использование сплайн-функций позволяет существенно обобщить функционал, используемый в методе наименьших квадратов. Действительно, применение сплайнов является логическим расширением критерия минимизации суммы квадра­тов рассогласований для отыскания оценок неизвестных коэффициентов модели, используемого в методе наименьших квадратов, путем введения условий на производные, т.е. введения понятия гладкости модели.

Сплайн-прогнозирование базируется на идее:

1) «предыдущий» участок сплайна заканчивается в последней узловой точке процесса hXN, YNi, последний узел представляет значение экономического показателя YN во время XN на правой границе отчетного периода;

2) «последующий» (вправо) участок сплайн-прогноза «опирается» на значение YN и значения его производных, он становится экстраполирующим и продолжается от XN до XZ — последней точки заданного горизонта прогноза;

3) «предыдущий» и «последующий» отрезки «сшиваются» в особой точке

hXN, YNi значениями функции и всеми ее производными до (n − 1)-й включительно слева (в отчетном периоде) и справа (в горизонте прогноза).

Таким образом, «вход» в горизонт прогноза осуществляется принципиально точно за счет одновременной множественной экстраполяции модели и ее производных.

Алгоритмы сплайн - прогнозирования теперь могут использовать экстраполяцию не только самой функции, но и ее «наклонов» (первых производных в узловых точках)и «моментов» (вторых производных там же).