ЧЕРКАСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ БОГДАНА ХМЕЛЬНИЦЬКОГО

КАФЕДРА АВТОМАТИЗАЦІЇ ТА КОМП’ЮТЕРНО-ІНТЕГРОВАНИХ

ТЕХНОЛОГІЙ

КУРСОВА РОБОТА

з дисципліни «Числові методи та моделювання на ЕОМ»

на тему: Дослідження поведінки системи Ресслера методом Ейлера

Студента 2 курсу В групи

напряму підготовки 6.050202 Автоматизація та комп’ютерно-інтегровані технології

Манжари В. В.

Керівник доц. кафедри фізики, математики та комп’ютерно-інформаційних систем, Гладка Л.І.

Національна шкала_______________

Кількість балів: ___ Оцінка: ECTS__

Члени комісії _____ ___________

^{(Підпис) (прізвище та ініціали)}

_____ ___________

^{(Підпис) (прізвище та ініціали)}

_____ ___________

^{(Підпис) (прізвище та ініціали)}

м. Черкаси – 2013 рік

Черкаський національний університет

імені Богдана Хмельницького

“Затверджую”

Зав. кафедрою автоматизації

комп’ютерно-інтегрованих

технологій та виробництва

_________________________

“____”__________200__р.

З А В Д А Н Н Я

на виконання курсової роботи з навчальної дисципліни

„Числові методи та моделювання на ЕОМ”

студенту Манжарі Владиславу Вікторовичу

Науковий керівник – Л.І. Гладка,

кандидат фізико-математичних наук, доцент.

Тема курсової роботи: “Дослідження поведінки системи Ресслера методом Ейлера“.

1. Розглянути методи знаходження диференціальних рівнянь.

2. Розробити алгоритм розв’язання диференціальних рівнянь методом Ейлера.

3. Розробити програмний продукт для розв’язання диференціальних рівнянь методом Ейлера.

Термін подання виконаної роботи: _________20___ року

Науковий керівник курсової роботи _______________ доц. Л.І. Гладка

Студент групи ____________________________ Манжара В.В.

ЗМІСТ

Вступ

В практичних розрахунках, у т.ч. в задачах точних і природничих наук, нерідко виникає необхідність обчислення диференціальних рівнянь.

На виробництві обчислення диференціальних рівнянь застосовується для аналізу експериментальних даних.

Об’єкт дослідження курсової роботи — система Ресслера.

Предметом дослідження є методи розв’язання диференціальних рівнянь в системі Ресслера.

Метою даної роботи є реалізація поведінки системи Ресслера у середовищі Qt за допомогою методу Ейлера.

Мета визначила на вирішення такі завдання:

4. Розглянути методи знаходження диференціальних рівнянь.

5. Розробити алгоритм розв’язання диференціальних рівнянь методом Ейлера.

6. Розробити програмний продукт для розв’язання диференціальних рівнянь методом Ейлера.

Практичне значення одержаних результатів: дослідження сприяє поглибленому висвітленню теми “ дослідження поведінки системи Ресслера методом Ейлера”, розглянуті питання можна використовувати при підготовці до лекцій, семінарів, спецкурсів та у створенні програм для розв'язання визначених інтегралів, які не можна розв’язати аналітично.

Розділ 1 Методи розв’язування систем диференціальних рівнянь що породжують атрактори

1. Основні поняття

Атрактор (англ. attract - залучати, притягати) - компактна підмножина фазового простору динамічної системи, всі траєкторії з деякої околиці якого прагнуть до нього при часі, що прагне до нескінченності. Атрактором може бути нерухома точка що притягується (наприклад, в задачі про маятник з тертям об повітря), періодична траєкторія (приклад - самозбудні коливання в контурі з позитивним зворотним зв'язком), або деяка обмежена область з нестійкими траєкторіями всередині (як у дивного атрактора). Існують різні формалізації поняття прагнення, що призводить до різних визначень атрактора, що задає, відповідно, потенційно різні множини (найчастіше вкладені одне в інше). Найбільш уживаними визначеннями є максимальний атрактор (найчастіше - в своїй малій околиці, див. нижче), ат трактор Мілнора і «неблукающа» множина. Атрактори класифікують за:

1. Формалізації поняття прагнення: розрізняють максимальний атрактор і «не блукаюча» множина, атрактор Мілнора, центр Біркгофа, статистичний і мінімальний атрактор.

2. Регулярності самого атрактора: атрактори ділять на регулярні (притягає нерухома точка, що притягає періодична траєкторія, різноманіття) і дивні (нерегулярні - часто фрактальні і / або в якому-небудь перерізі влаштовані як канторова безліч; динаміка на них зазвичай хаотична).

3. Локальності («притягує безліч») і глобальності (тут же – термін «мінімальний» у значенні «неподільний»). Також, є відомі «іменні» приклади атракторів: Лоренца, Пликіна, соленоїд Смейла-Вільямса, гетероклініческій атрактор (приклад Боуена).

1. 2. Властивості та пов'язані визначення

При всіх визначеннях атрактор покладається замкнутим і (повністю) інваріантною безліччю. З поняттям атрактора також тісно пов'язане поняття міри Синая-Рюелля-Боуена: інваріантної міри на ньому, до якої прагнуть тимчасові середні типові (в сенсі заходи Лебега) початкової точки або тимчасові середні ітерацій міри Лебега. Втім, така міра існує не завжди (що ілюструє, зокрема, приклад Боуена). Види формалізації визначення, оскільки весь фазовий простір в будь-якому випадку зберігається динамікою, формальне визначення атрактора можна давати, виходячи з філософії, що «атрактор це найменша безліч, до якого все прагне» - іншими словами, викидаючи з фазового простору все, що може бути викинуто.

3. Система Ресслера

Через складність геометричної структури і динамічних властивостей хаотичних атракторів більшість наших знань про їх властивості отримують головним чином з чисельних рішень звичайних диференціальних рівнянь. Однією з найпростіших систем диференціальних рівнянь, що володіють хаотичним атрактором, є рівняння Ресслер:

(1.1)

де ε, f і µ - позитивні постійні. При значеннях параметрів ε = f = 0,2 і µ в діапазоні 2,6-4,2 рівняння Ресслер мають стійким граничним циклом. У цьому діапазоні значень параметрів форма і період граничного циклу зазнає послідовність біфуркацій, відомих під назвою подвоєння періоду. Їх можна чітко споглядати на проекції граничного циклу на площину ху. Під кожною траєкторією на наведена знайдена за допомогою моделювання щільність спектра потужності змінної z(t). Щільність спектра потужності Р(ω) визначається в даному випадку як межа виду:

(1.2)

У послідовності подвоєння при збільшенні параметра µ до 4,2 спочатку з'являється частота ω_1/2 = 8 см^-1 зі своїми вищими гармоніками, потім частоти ω_1/4, ω_1/8 і т.д. Відразу ж за точкою µ = 4,2 виникає новий тип поведінки, характерний для хаотичних атракторів. Тонкі, чітко визначені траєкторії граничних циклів розпливаються майже в континуум, заповнюючи простір настільки щільно, що на проекції вони виглядають як суцільні чорні лінії. У цьому діапазоні значень параметрів амплітуди фонових частот значно збільшуються, що вказує на шумовий характер руху, зазвичай пов'язаний зі стохастичними процесами. Однак цей шум за інтенсивністю на багато порядків сильніше того шуму, який зазвичай приписують молекулярним флуктуацій. Оскільки такий шум виникає з рішення детерміністичної системи, за ним закріпилася назва детерміністичного шуму. Складну геометричну структуру атрактора Ресслера можна уявити досить наочно за допомогою перерізу Пуанкаре. Схематичне зображення такого перерізу, п роведеного через атрактор Ресслеpa, представлено на рис. 1.1. Насамперед слід звернути увагу на багаторазово складені аркуші атрактора. Якщо провести друге перетин Пуанкаре, перпендикулярне першому, то можна побачити подробиці розташування аркушів атрактора, зображених на рис. 1.1 точками. Щоб зрозуміти (принаймні, в принципі), як вдається описувати такі складні безлічі, як дивні атрактори, доречно звернутися до канторової множини, що володіє

Рис. 1.1. Переріз атрактора.

геометричній інваріантністю. Найвідомішим прикладом на це рахунок є так зване безліч середніх третин.

Цю систему диференціальних рівнянь Я позв’язував за допомогою методу Ейлера, який описаний в попередньому розділі.