16. Выбор формы уравнения множественной регрессии.

Как и в парной зависимости, используются разные виды уравнений множественной регрессии: линейные и нелинейные.

1. Линейная регрессия

2. Нелинейные регрессии

степенная регрессия

экспоненциальная регрессия

гиперболическая регрессия

Ввиду четкой интерпретации параметров наиболее широко используются линейная и степенная функции. В линейной множественной регрессии  параметры при x называются коэффициентами "чистой регрессии". Они характеризуют среднее изменение результата с изменением соответствующего фактора на единицу при неизменном значении других факторов, закрепленных на среднем уровне.

При изучении вопросов потребления коэффициенты регрессии рассматриваются как характеристики предельной склонности к потреблению. Например, если функция потребления С_t имеет вид:

С_t=a+b₀*R_t+b₁*R_t-1+Ɛ,

то потребление в период времени t зависит от дохода того же периода R_t и от дохода предшествующего периода R_t-1. Соответственно коэффициент b₀ характеризует эффект единичного возрастания дохода R_t при неизменном уровне предыдущего дохода. Коэффициент b₀ обычно называют краткосрочной предельной склонностью к потреблению. Общим эффектом возрастания как текущего, так и предыдущего дохода будет рост потребления на b = b₀ + b₁. Коэффициент b рассматривается здесь как долгосрочная склонность к потреблению. Поскольку коэффициенты b₀ и b₁ >0, долгосрочная склонность к потреблению должна превосходить краткосрочную b₀.

Пример:

За период 1905-1951гг. М. Фридман построил для США функцию потребления:

Сt=53+0,58*Rt+0,32*Rt-1, где

0,58 – краткосрочная предельная склонность к потреблению,

0,9 (0,58+0,32) – долгосрочная склонность к потреблению.

Функция потребления может рассматриваться также в зависимости от прошлых привычек потребления, т.е. от предыдущего уровня потребления С_t-1

С_t=a+b₀*R_t+b₁*C_t-1+Ɛ, где

b₀ - краткосрочная предельная склонностью к потреблению, т.е. влияние на потребление единичного роста доходов того же периода R_t,

b₀ /(1- b₁) – измеряется долгосрочная склонность к потреблению.

Свободный член уравнения множественной линейной регрессии (параметр a) вбирает в себя информацию о прочих не учитываемых в модели факторах. Его величина экономической интерпретации не имеет. Формально его значение предполагает то значение y , когда все х=0, что практически не бывает.

В степенной функции y_х=а*х₁^b1*x₂^b2*…x_p^bp

Коэффициенты b_j являются коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов в среднем изменится результат с изменением соответствующего фактора на 1% при неизменности действия других факторов. Этот вид уравнения регрессии получил распространение в производственных функциях, в исследованиях спроса и потребления.

В производственных функциях Р = a*F₁^b1*F₂^b2 … *F_m^b+Ɛ, где

Р – количество продукта, изготавливаемого с помощью m производственных факторов (F₁, F₂, … F_m)

b - параметр, являющийся эластичностью количества продукции по отношению к количеству соответствующих производственных факторов.

Cумма эластичности B= b₁+b₂+ …+b_n показывает обобщенную характеристику эластичности производства.

При практических расчетах не всегда , она может больше и меньше 1. В этом случае величина В

фиксирует приближенную оценку эластичности выпуска с ростом каждого фактора производства на 1% в условиях увеличивающейся (B>1) или уменьшающейся (B<1) отдачи от масштаба.

Возможны и другие линеаризуемые функции для построения уравнения множественной регрессии:

• экспонента

• гипербола которая используется при обратных связях признаков

Стандартные компьютерные программы обработки регрессионного анализа позволяют перебирать различные функции и выбрать ту из них, для которой остаточная дисперсия и ошибка аппроксимации минимальны, а коэффициент детерминации максимален.

Если исследователя не устраивает предлагаемый стандартный набор функций регрессии, то можно использовать любые другие, приводимые путем соответствующих преобразований к линейному виду. Однако чем сложнее функция, тем менее интерпретируемы ее параметры.

При сложных полиномиальных функциях с большим числом факторов необходимо помнить, что каждый параметр преобразованной функции является средней величиной, которая должна быть подсчитана по достаточному числу наблюдений. Если число наблюдений невелико, что, как правило, имеет место в эконометрике, то увеличение числа параметров функции приведет к их статистической незначимости и соответственно потребует упрощения вида функции. Если один и тот же фактор вводится в регрессию в разных степенях, то каждая степень рассматривается как самостоятельный фактор.

В эконометрике регрессионные модели часто стоятся на основе макроуровня экономических показателей, когда ставится задача оценки влияния наиболее экономически существенных факторов на моделируемый показатель при ограниченном объеме информации. Поэтому полиномиальные модели высоких порядков используются редко.