5.5. Префіксна нормальна форма

Визначення 5.12. Префіксною нормальною формою (ПНФ) називається формула, що містить тільки операції диз'юнкції, кон’юнкції і заперечення; причому символ заперечення знаходиться тільки перед символом предикатів. Тобто ПНФ має вигляд: ,де ‑ квантори, а ‑ формула.

У логіки предикатів для будь-якої формули існує еквівалентна їй префіксна нормальна форма.

Вище (п. 5.3) виписані основні еквівалентні співвідношення логіки предикатів, причому частина з них доведена, а доведення інших ми надали читачеві. Випишемо і систематизуємо їх, для зручності використання останніх при одержанні ПНФ будь-якої предикатної формули. Отже, основні еквівалентні співвідношення такі:

; (1)

; (2)

; (3)

; (4)

; (5)

; (6)

; (7)

; (8)

; (9)

; (10)

; (11)

. (12)

Процедура одержання ПНФ виглядає в такий спосіб:

а) використовуючи тавтології для виключення зв'язувань (п. 3.3), необхідно замінити операції імплікації і еквівалентності на диз'юнкцію, кон’юнкцію і заперечення;

б) використовуючи правила подвійного заперечення, правила де Моргана і еквівалентні співвідношення (1), (2), подати формулу логіки предикатів таким чином, щоб символи заперечення розташовувалися безпосередньо перед символами предикатів;

в) тому що квантор існування не дистрибутивний відносно кон’юнкції, а квантор спільності - щодо диз'юнкції, то для складних формул, що містять вираження виду або , необхідно ввести нові змінні, які б дозволили використати еквівалентності (7) ‑ (10);