Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим
линейное неоднородное уравнение второго
порядка с постоянными коэффициентами
,
где
и
– данные постоянные числа и
– известная функция от
.
Теорема.
Общее решение неоднородного уравнения
второго порядка с постоянными
коэффициентами
равно сумме общего решения однородного
уравнения
и частного решения данного неоднородного
уравнения.
Доказательство.
Пусть
есть общее решение уравнения
,
а
– некоторое частное решение уравнения
.
Если подставить решения в соответствующие
исходные уравнения получим:
и
.
Складывая почленно, приходим к равенству:
.
Отсюда ясно, что функция
будет общим решением уравнения
,
поскольку оно содержит две независимые
произвольные постоянные
и
.
Поскольку решение однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами рассматривалось ранее, то необходимо только указать способ нахождения частного решения .
Правая часть уравнения является показательной функцией
.
Тогда частное решение также ищется в
виде показательной функции
,
где
– неопределенный коэффициент. Отсюда,
и
.
Подставив в исходное уравнение и
сократив на
,
получим
.
Возможны два случая:
не
является корнем характеристического
уравнения, т.е.
,
тогда
и, следовательно,
;Если – простой корень, то решение следует искать в виде
;
если
–
кратный корень, то решение следует
искать в виде
.
Правая часть уравнения является тригонометрическим полиномом
.
Тогда частное решение этого уравнения
ищется также в форме тригонометрического
полинома
,
где
и
– неопределенные коэффициенты.
Дифференцируя
получим:
;
.
Подставив в исходное уравнение и сгруппировав коэффициенты при тригонометрических функциях, получим:
Так как последнее равенство представляет собой тождество, то коэффициенты при тригонометрических функциях должны быть равны между собой:
Из
этой системы и определяются коэффициенты
и
.
Эта система несовместна только в том
случае, когда
,
(т.е. когда
– корни характеристического уравнения).
Тогда частное решение следует искать
в виде
.
Правая часть уравнения является полиномом, например, второй степени
.
Тогда
частное решение также следует искать
в форме полинома второй степени
.
В результате дифференцирования получим
,
.
Подставляя
,
и
в исходное уравнение приходим к тождеству:
или
.
Так как два многочлена тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях переменной равны, то для определения коэффициентов , и получается система:
Если
,
то из этой системы для коэффициентов
,
и
получаются вполне определенные значения.
Частное значение в этом случае также
будет вполне определено.
Если
(характеристическое уравнение имеет
простой нулевой корень), то система
уравнений несовместна. В этом случае,
полагая, что
,
частное решение следует искать в виде
.
Эта задача решается аналогично, если
является полиномом какой-нибудь другой
степени.