Дифференциальные уравнения Основные понятия

Построение математической модели какого-либо экономического процесса заключается в выявлении его закономерности, в получении аналитического выражения функциональной зависимости между переменными параметрами этого процесса.

Пример. Из статистических данных известно, что для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональности и , соответственно. Найти закон изменения численности населения с течением времени.

Пусть – число жителей региона в момент времени . Прирост населения за промежуток времени равен разности между родившимися и умершими за этот период, т.е. . Обозначим . Полученное уравнение можно записать в виде . Если перейти к пределу при , получается уравнение . Решением этого уравнения является математическая модель демографического процесса , где – постоянная, определяемая начальными условиями (численность населения в начальный момент времени).

Большинство таких задач на отыскание связи между переменными сводится к решению уравнений, связывающих между собой независимую переменную , искомую функцию и ее производные различных порядков по . Такие уравнения называют дифференциальными. Огромное значение этих задач для практики, как и для теории обуславливает особо важное значение этого раздела математического анализа.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении. Таким образом, общий вид дифференциального уравнения го порядка следующий:

,

(1)

где – некоторая функция переменных при , причем в частных случаях в это уравнение могут и не входить , и отдельные производные порядков ниже чем . Дифференциальное уравнение го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:

,

(2)

где – некоторая функция переменной.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если левая часть его есть многочлен первой степени относительно неизвестной функции и ее производных и не содержит их произведений, т.е. если это уравнение имеет вид:

,

(3)

Всякая функция , которая, будучи подставленной в уравнение (1), обращает его в равенство, называется решением этого уравнения. Решить (или проинтегрировать) данное дифференциальное уравнение – значит, найти все его решения в заданной области. График решения называется интегральной кривой.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких – то уравнением в частных производных. Основная задача теории дифференциальных уравнений заключается в изучении методов нахождения неизвестных функций, определяемых дифференциальным уравнением.

Основная задача интегрального исчисления – отыскание функции , производная которой равна данной непрерывной функции – сводится к простейшему дифференциальному уравнению .

Общее решение этого уравнения есть функция , где произвольная постоянная. Выбирая надлежащим образом значение этой константы при условии непрерывности функции , можно получить любое решение этого дифференциального уравнения. При интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков появляется несколько произвольных постоянных.

Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка .

Так как , то отсюда следует . Интегрируя последнее равенство, получим .

Таким образом, решение содержит две произвольные постоянные и , т.е. число произвольных постоянных в формуле общего решения дифференциального уравнения равно порядку этого уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение , которое содержит столько независимых постоянных , каков порядок этого уравнения.

Предполагается, что функция в общем решении непрерывно дифференцируема по всем своим аргументам достаточное число раз. При этом произвольные постоянные называются независимыми, если общее число постоянных, входящих в состав функции , не может быть уменьшено путем введения других произвольных постоянных, непрерывно зависящих от данных.

Если общее решение задано в неявном виде , то оно обычно называется общим интегралом.

Определение. Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, если приписать определенные значения произвольным постоянным, в него входящим, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Пример. Рассмотрим уравнение второго порядка .

Решениями этого уравнения будут функции и , т.к. и . Нетрудно проверить непосредственно, что таким же решением этого уравнения является функция , где и – произвольные постоянные. Эта функция представляет собой общее решение уравнения. Если, например, положить , а , то полученная функция является частным решением данного дифференциального уравнения.

Если в результате решения дифференциального уравнения найдена некоторая функция, то, подставив эту функцию в данное уравнение, можно проверить правильность решения.

Пример. Показать, что функция есть решение уравнения .

В самом деле, и .

Следовательно:

что и требовалось показать.