Задание д.10. Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы
Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано в таблице 11. Учитывая трение скольжения тела 1 (варианты 1–3, 5, 6, 8–12, 17–23, 28–30) и сопротивление качению тела 3, катящегося без скольжения (варианты 2, 4, 6–9, 11, 13–15, 20, 21, 24, 27 и 29), пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.
В задании приняты следующие обозначения: m1 = m, m2, m3 и m4 – массы тел 1, 2, 3 и 4; R2, r2, R3, r3 – радиусы больших и малых окружностей тел 2 и 3; i2x, i3 – радиусы инерции тел 2 и 3 относительно горизонтальных осей, проходящих через их центры тяжести; , – углы наклона плоскостей к горизонту; t – коэффициент трения скольжения; – коэффициент трения качения.
Необходимые для решения данные приведены в таблице 12. Блоки и катки, для которых радиусы инерции не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.
Пример выполнения задания.
Даны механическая система в начальном положении (рисунок 11а) и следующие исходные данные: m1/m = 1; m2/m = 0,5; m3/m = 0,2; m4/m = 1,4; R2 = 25 см; R3 = 20 см; r2 = 0,5R2; r3 = 0,5R3; i2x = 20 см; i3 = 20 см; f = 0,15; = 30°; s = 2 м.
Найти скорость груза 1 1 в конечном положении.
Таблица 11 – Схемы механизмов к заданию Д.10
Продолжение Таблицы 11
Продолжение Таблицы 11
Таблица 12 – Исходные данные к заданию Д.10
Вариант |
|
|
|
|
R2 |
R3 |
i2x |
i3 |
|
|
f |
, см |
s, см |
Примечание |
см |
град |
|||||||||||||
1 |
1 |
4 |
1/5 |
4/3 |
– |
– |
– |
– |
– |
60 |
0,10 |
– |
2 |
|
2 |
1 |
1/2 |
1/3 |
– |
– |
30 |
– |
20 |
30 |
45 |
0,22 |
0,20 |
2 |
|
3 |
1 |
1 |
1/10 |
1 |
– |
– |
– |
– |
45 |
– |
0,10 |
– |
2 |
|
4 |
1 |
2 |
40 |
1 |
20 |
40 |
18 |
– |
– |
– |
– |
0,30 |
0,1 |
Массами звеньев АВ, ВС и ползуна В пренебречь |
5 |
1 |
2 |
1 |
– |
20 |
15 |
18 |
– |
60 |
– |
0,12 |
– |
0,28 |
Массой водила пренебречь |
6 |
1 |
3 |
1 |
– |
– |
28 |
– |
– |
30 |
45 |
0,10 |
0,28 |
1,5 |
|
7 |
1 |
2 |
2 |
– |
16 |
25 |
14 |
– |
30 |
– |
– |
0,20 |
2 |
|
8 |
1 |
1/2 |
1/3 |
– |
– |
30 |
– |
– |
30 |
45 |
0,15 |
0,20 |
1,75 |
|
9 |
1 |
2 |
9 |
– |
– |
30 |
– |
20 |
30 |
– |
0,12 |
0,25 |
1,5 |
|
10 |
1 |
1/4 |
1/4 |
1/5 |
– |
– |
– |
– |
60 |
– |
0,10 |
– |
3 |
|
11 |
1 |
1/2 |
1/4 |
– |
– |
30 |
– |
25 |
30 |
45 |
0,17 |
0,20 |
2,5 |
|
12 |
1 |
1/2 |
1/5 |
1 |
30 |
– |
20 |
– |
30 |
– |
0,20 |
– |
2,5 |
|
13 |
1 |
2 |
5 |
2 |
30 |
20 |
26 |
– |
30 |
– |
– |
0,24 |
2 |
|
14 |
1 |
1/2 |
5 |
4 |
– |
25 |
– |
– |
– |
– |
– |
0,20 |
2 |
Массы каждого из 4-х колес одинаковы |
15 |
1 |
1/2 |
4 |
1/2 |
20 |
15 |
18 |
– |
60 |
– |
– |
0,25 |
1,5 |
|
16 |
1 |
1/10 |
1/20 |
1/10 |
10 |
12 |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
0,05 |
Массой водила пренебречь |
17 |
1 |
1/4 |
1/5 |
1/10 |
20 |
– |
15 |
– |
60 |
– |
0,10 |
– |
0,16 |
Шатун 3 рассматривать как тонкий однородный стержень |
18 |
1 |
3 |
1 |
– |
35 |
15 |
32 |
– |
60 |
– |
0,15 |
– |
0,2 |
Массой водила пренебречь |
19 |
1 |
1/3 |
1/10 |
1 |
24 |
– |
20 |
– |
60 |
– |
0,15 |
– |
1,5 |
|
20 |
1 |
2 |
20 |
– |
20 |
15 |
16 |
– |
30 |
– |
0,10 |
0,20 |
0,2 |
Массами звеньев АВ, ВС и ползуна В пренебречь |
21 |
1 |
1 |
2 |
– |
20 |
20 |
16 |
– |
30 |
45 |
0,20 |
0,32 |
1,2 |
|
22 |
1 |
1/2 |
1/4 |
– |
20 |
10 |
– |
– |
60 |
– |
0,17 |
– |
0,1 |
Массой водила пренебречь |
23 |
1 |
1 |
1/10 |
4/5 |
20 |
– |
18 |
– |
30 |
– |
0,10 |
– |
1 |
|
24 |
1 |
3 |
20 |
– |
20 |
30 |
18 |
– |
– |
– |
– |
0,60 |
0,08 |
Массами звеньев АВ, ВС и ползуна В пренебречь |
25 |
1 |
1/3 |
1/4 |
– |
16 |
20 |
– |
– |
– |
– |
– |
– |
0,04 |
Массой водила пренебречь |
26 |
1 |
1/2 |
1 |
1/3 |
30 |
– |
20 |
– |
– |
– |
– |
– |
0,6 |
Массы и моменты инерции блоков 2 и 5 одинаковы. Шатун 3 рассматривать как тонкий однородный стержень |
27 |
1 |
1 |
6 |
1/2 |
20 |
20 |
16 |
– |
30 |
– |
– |
0,20 |
2 |
|
28 |
1 |
2 |
3 |
– |
20 |
– |
14 |
– |
60 |
– |
0,10 |
– |
0,1 |
Шатун 3 рассматривать как тонкий однородный стержень |
29 |
1 |
1/4 |
1/8 |
– |
– |
35 |
– |
– |
15 |
30 |
0,20 |
0,20 |
2,4 |
|
30 |
1 |
1/2 |
3/10 |
3/2 |
26 |
20 |
20 |
18 |
30 |
– |
0,12 |
– |
2 |
|
Решение. Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы:
|
(27) |
,где T и Т0 – кинетическая энергия системы в конечном и начальном положении соответственно;
и
– сумма
работ внешних и внутренних сил, приложенных
к системе, на перемещении системы из
начального в конечное положение.
Рисунок 11 – Схема механизма (а) и расчетная схема (б)
Для
рассматриваемой системы, состоящей из
абсолютно твердых тел, соединенных
абсолютно гибкими и нерастяжимыми
нитями,
.
Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0 = 0. Тогда уравнение (27) принимает вид
|
(28) |
.Для определения кинетической энергии Т и суммы работ внешних сил изобразим механическую систему в конечном положении, когда тело 1 пройдет путь s (рисунок 11б).
Составим кинематические соотношения между скоростями и перемещениями точек системы, при этом скорости и перемещения выразим соответственно через скорость и перемещение груза 1.
Скорость нити, соединяющей тела 1 и 2, равна искомой скорости груза 1 1. Она же является вращательной скоростью для точек обода барабана 2:
|
,откуда угловая скорость барабана 2
|
.Скорость нити, соединяющей тела 2 и 3, равна
|
.Тогда
|
,
откуда
.С другой стороны для блока 3
|
,откуда угловая скорость блока 3
|
.Скорость груза 4, центра масс блока 3 и нити, соединяющей их, равна
|
.Теперь рассмотрим перемещения тел 3 и 4 в зависимости от перемещения тела 1 на величину s. Барабан 2 испытывает только вращательное движение). Для барабана 2
|
,откуда угол его поворота
|
.Перемещение нити, соединяющей тела 2 и 3:
|
.Угол поворота блока 3 относительно неподвижной нити равен
|
.Тогда величина подъема груза 4 и центра масс блока 3 составит
|
.
Итак,
при перемещении груза 1
на величину s
барабан 2
повернется на угол
,
а блок 3
– на угол
.
При этом блок 3
и груз 4
поднимутся на величину
.
Теперь вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении Т как сумму кинетических энергий тел 1–4:
|
(29) |
.Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно равна
|
(30) |
.Для барабана 2, совершающего вращение вокруг неподвижной оси, кинетическая энергия определится как
|
(31) |
,
где
– момент инерции барабана относительно
оси его вращения:
|
(32) |
.Теперь формула (31) с учетом уравнения (32) будет выглядеть:
|
(33) |
,Кинетическая энергия блока 3, совершающего плоское движение,
|
,где
– момент инерции блока относительно
оси, проходящей через его центр масс:
|
.Тогда, с учетом полученных выше выражений, получим
|
(34) |
.Для груза 4, движущегося поступательно:
|
(35) |
.Итак, кинетическая энергия системы в конечном положении с учетом формул (30), (33)–(35) определится как
|
или
|
(36) |
.Теперь вычислим сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном перемещении. Силы, действующие на систему, показаны на рисунке 11б.
Работа силы тяжести груза 1:
|
(37) |
.Работа силы трения скольжения груза 1:
|
(38) |
.Работа сил тяжести блока 3 и груза 4 на их общем перемещении :
|
(39) |
.Тогда сумма работ внешних сил определится с учетом формул (37)–(39) как
|
или
|
(40) |
.Теперь формула (28) с учетом уравнений (36) и (40) примет вид
|
откуда искомая скорость груза 1 в конечном положении:
|
м/с.