Задание к.3. Кинематический анализ плоского механизма
Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек В и С, а также угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат. Необходимые для расчета исходные данные приведены в таблице 5, а схемы механизмов приведены в таблице 6.
Таблица 5 – Исходные данные к заданию К.3.
Вариант |
Размеры, см |
OA, рад/с |
1, рад/с |
OA, рад/с2 |
А, см/с |
аА, см/с2 |
|||
OA |
r |
AB |
AC |
||||||
1 |
40 |
13 |
– |
9 |
2 |
– |
3 |
– |
– |
2 |
30 |
13 |
– |
9 |
3 |
– |
3 |
– |
– |
3 |
– |
45 |
– |
– |
– |
– |
– |
50 |
100 |
4 |
35 |
– |
– |
40 |
4 |
– |
7 |
– |
– |
5 |
25 |
– |
– |
15 |
1 |
– |
2 |
– |
– |
6 |
40 |
20 |
– |
8 |
1 |
1,5 |
0 |
– |
– |
7 |
35 |
– |
75 |
55 |
5 |
– |
8 |
– |
– |
8 |
– |
– |
20 |
12 |
– |
– |
– |
40 |
20 |
9 |
– |
– |
45 |
25 |
– |
– |
– |
20 |
10 |
10 |
25 |
– |
80 |
15 |
1 |
– |
3 |
– |
– |
11 |
– |
– |
30 |
20 |
– |
– |
– |
10 |
0 |
12 |
– |
– |
30 |
18 |
– |
– |
– |
20 |
20 |
13 |
25 |
– |
55 |
45 |
2 |
– |
5 |
– |
– |
14 |
45 |
20 |
– |
9 |
3 |
10 |
0 |
– |
– |
15 |
40 |
20 |
– |
9 |
1 |
– |
2 |
– |
– |
16 |
55 |
15 |
– |
– |
2 |
– |
4 |
– |
– |
17 |
– |
35 |
– |
15 |
– |
– |
– |
80 |
50 |
18 |
10 |
– |
10 |
7 |
2 |
– |
5 |
– |
– |
19 |
20 |
13 |
– |
8 |
1 |
2 |
0 |
– |
– |
20 |
– |
– |
20 |
7 |
– |
– |
– |
10 |
15 |
21 |
30 |
– |
60 |
20 |
3 |
– |
7 |
– |
– |
22 |
35 |
– |
60 |
35 |
4 |
– |
8 |
– |
– |
23 |
– |
– |
60 |
15 |
– |
– |
– |
5 |
10 |
24 |
25 |
– |
35 |
10 |
2 |
– |
2 |
– |
– |
25 |
20 |
– |
70 |
25 |
1 |
– |
3 |
– |
– |
26 |
20 |
13 |
– |
8 |
2 |
1 |
0 |
– |
– |
27 |
– |
13 |
– |
8 |
– |
– |
– |
60 |
30 |
28 |
20 |
– |
50 |
20 |
1 |
– |
2 |
– |
– |
29 |
12 |
– |
35 |
10 |
4 |
– |
5 |
– |
– |
30 |
40 |
– |
– |
15 |
5 |
– |
8 |
– |
– |
Примечание. OA и OA – угловая скорость и угловое ускорение кривошипа ОА при заданном положении механизма; 1 – угловая скорость колеса I (постоянная); А и аА –скорость и ускорение точки А. Качение колес происходит без скольжения.
Пример выполнения задания.
Даны схема механизма в заданном положении (рисунок 3а) и следующие исходные данные: ОА = АВ = 30 см; АС = 15 см; OA = 4 рад/с; OA = 8 рад/с2.
Решение. 1. Определение скоростей точек и угловой скорости звена (рисунок 3б). Вычислим модуль скорости точки А кривошипа ОА в заданном положении. Так как кривошип испытывает вращательное движение вокруг неподвижной точки О, то
|
см/с.Вследствие вращения кривошипа вектор скорости точки А перпендикулярен кривошипу и направлен в соответствии с OA. Вектор скорости точки В ползуна направлен вдоль прямой ОВ. Зная скорость точки А и направление скорости точки В (принадлежащих звену АВ), можно определить мгновенный центр скоростей РАВ шатуна АВ. Он находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных из точек А и В по отношению к направлениям их скоростей.
Таблица 6 – Схемы механизмов к заданию К.3.
Продолжение Таблицы 6
Продолжение Таблицы 6
Рисунок 3 – Схема механизма (а) и схема для определения скоростей (б)
Модули скоростей точек В и С определятся соответственно:
|
(1) |
;
.Угловую скорость звена АВ можно определить как
|
(2) |
.Подставив выражение для AВ в уравнения (1), получим:
|
(3) |
;
.Расстояния APAB, BPAB и CPAB определяются из рассмотрения треугольников АBPAB и АCPAB:
|
см;
см;
см.С учетом этого
|
рад/с;
см/с;
см/с.Вектор скорости точки С направлен перпендикулярно отрезку CPAB в направлении вращения звена АВ.
Скорости точек В и С можно установить и с использованием теоремы об алгебраическом равенстве проекций скоростей точек на ось, проведенную через эти точки.
В качестве прямой возьмем направление шатуна АВ. Тогда
|
.Из рисунка 3б видно:
|
,откуда через известную А определяем неизвестные В и С:
|
см/с
и
см/с.
2. Определение
ускорений точек и углового ускорения
звена
(рисунок 4). Ускорение
точки А
складывается из вращательного
и центростремительного
ускорений:
|
;
;
.Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры для ускорения точки В имеем
|
(4) |
,где
и
– вращательная и центростремительная
составляющие ускорения точки В
во вращательном движении шатуна АВ
вокруг полюса А;
.
Рисунок 4 – Схемы для определения ускорений
С учетом имеющихся данных определяем модули составляющих ускорений:
|
см/с2;
см/с2;
см/с2.Вектор
направлен к центру вращения: от А
к О.
Вектор
перпендикулярен
и направлен с учетом направления
.
Составляющая
направлена от В
к полюсу А.
Для
ускорения
точки В
и его вращательной составляющей
известны только линии действия этих
векторов:
направлен вдоль линии движения ползуна
ОВ,
– перпендикулярно АВ.
Зададимся произвольно их направлениями (пунктирные стрелки на рисунке 4). Определим эти ускорения из уравнений проекций векторного равенства (4) на координатные оси. Знак в ответе должен показать соответствие истинного направления вектора принятому в расчете.
Выберем направление осей х и у, как показано на рисунке 4 и составим уравнения проекций:
|
(5) |
|
(6) |
,
.Из уравнения (6) найдем
|
см/с2.Истинное направление ускорения совпадает с показанным на рисунке 4.
Из уравнения (5) получим
|
см/с2,то есть действительное направление противоположно показанному на рисунке 4.
Теперь определяем угловое ускорение звена АВ:
|
рад/с2.Направление углового ускорения АВ определяется направлением вращательного ускорения .
Далее определяем ускорение точки С. Согласно теореме об ускорениях точек плоской фигуры:
|
;
;
.Модули вращательного и центростремительного ускорения точки С во вращательном движении АВ вокруг полюса А соответственно:
|
см/с2;
см/с2.Направления
и
показаны на рисунке 2.
Ускорение точки С находим способом проекций (рисунок 4):
|
|
см/с2;
см/с2;
см/с2.Векторы
ускорений
и
точек
В
и С
соответственно показаны на рисунке 4.