Модель транспортной задачи линейного программирования.
Транспортная задача (задача Монжа — Канторовича) — математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального плана перевозок грузов из пунктов отправления в пункты потребления, с минимальными затратами на перевозки.
На примере: имеются 2 пункта производства и 3 пункта потребления, Х – объем перевозок от пунктов производства к пунктам потребления, С – затраты на перевозку, В – объемы производства, D – объемы потребления пунктами.
В виде матрицы:
Построение математической модели для определения такого плана перевозки грузов, с которым были бы связаны наименьшие затраты на перевозку.
Целевая функция - общая суммарная стоимость всех перевозок, соответствующих плану Х. Ее следует минимизировать при условии, что будут выполнены все ограничения. Ограничения на перевозки можно разбить на три группы. Первая группа – это верхние два неравенства. В каждое из них входят переменные, соответствующие одному и тому же пункту производства, но различным пунктам потребления. Каждое из этих неравенств говорит о том, что суммарный объем всех грузов, вывозимых из одного и того же пункта производства в разные пункты потребления, не превосходит того количества продукции, которое может быть произведено в данном пункте производства. Вторая группа – три неравенства. В каждое из них входят переменные, соответствующие одному пункту потребления, но разным пунктам производства. Такое неравенство утверждает, что объем всего груза, который свозится из разных пунктов производства в один и тот же пункт потребления, должен быть не меньше, чем объем потребности в данном пункте потребления. Третья группа ограничений утверждает, что все объемы перевозок неотрицательны.
Если бы суммарный груз в пунктах производства оказался меньше суммарной потребности в пунктах потребления, то задача оказалась бы неразрешимой. Она не имела бы даже допустимых планов, и тем более не имела бы оптимального. Модель транспортной задачи с ограничениями-неравенствами называется открытой моделью. Задача разрешима в том и только в том случае, когда общий объем груза у поставщиков не меньше суммарной потребности потребителей, то есть когда выполнено неравенство: В1+В2>=D1+D2+D3
Если же суммарный груз в пунктах производства в точности равен суммарной потребности в пунктах потребления, в этом случае из пунктов производства должно быть вывезено все. (В1+В2=D1+D2+D3) Это значит, что ограничения первой группы, связанные с пунктами производства, должны выполняться в форме равенства. Точно так же и пункты потребления не могут быть в этом случае удовлетворены с избытком. Следовательно, и ограничения второй группы должны выполняться в форме равенства (первые 5 неравенств в модели становятся равенствами).
Задачи построения и общая схема моделирования производственного планирования в динамической ситуации.
Первый период.
Находится оптимальный план, в соответствии с которым компания получает максимальную выручку.
b1,b2,b3..bn-ресурсы (затраты на сырье, трудовые ресурсы, производственные мощности)
Часть выручки расходуется на производственные затраты, часть следует вложить в дальнейшую деятельность. Объемы остатков сырья в конце периода малы, так что потребуется новая закупка. Объемы закупаемого сырья (с учетом имеющихся остатков на складе) должны стать основой нового оптимального производственного плана. Для этого определяются запасы сырья в конце текущего периода, после реализации плана. Тем самым мы выясняем складские запасы, с которыми входим в следующий плановый период. Происходит расчет стоимости доступного сырья для следующего периода.
Приобретение новых запасов во 2 периоде = прибыль за 1 период – затраты на доставку новых запасов
Итого доступные запасы (Z)=приобретение новых запасов во 2 периоде+переходящие запасы (остатки запасов 1 периода)
Полученная величина (Z) является ключевым параметром при планировании производства и его сырьевого обеспечения в следующем периоде.
Второй период.
Математическая модель второго периода подобна модели первого периода. Единственное существенное различие в том, что во втором периоде вместо нескольких отдельных ограничений по каждому виду сырья используется одно единое ограничение по сырьевым затратам.
k1*x1+k2*x2….<=Z
k1, k2 - рассчитываются непосредственно по исходным данным, исходя из технологических коэффициентов (рецептуры продуктов) и закупочных цен сырья.
Z - соответствует тому объему прибыли, который по результатам первого периода оставлен на закупку сырья во втором периоде.
Производится расчет оптимального плана второго периода, выручка меняется. Смотрим на ресурсы, связанные с оптимум (на конец периода остатки этих ресурсов = 0) и пытаемся с помощью теневой цены просчитать выгодно ли нам увеличить данные ресурсы (теневая цена должна быть больше, чем затраты на увеличения ресурса). Если возможности по увеличению ресурсов нет, переходим к 3 му периоду.(если есть-смотри расчет в 3 периоде).
Третий период.
Все происходит точно так же как в третьем периоде. Единственное, что величина Z конечно же меняется, т.к.
Приобретение новых запасов во 3 периоде = прибыль за 2 период – затраты на доставку новых запасов
Итого доступные запасы (Z)=приобретение новых запасов во 3 периоде+переходящие запасы (остатки запасов 2 периода)
Далее проводится анализ устойчивости – анализ теневых цен, на основе которого ищется возможность расширения узких мест оптимального плана (увеличения ресурсов, входящих в оптимум плана, это либо затраты на закупку сырья, либо сверхурочные работы,т.к. затраты на расширение произв.мощностей – долгосрочная программа, не входящая в задачи оптимального планирования). Если теневая цена определенного ресурса больше затрат на его увеличения, то в ограничении соответствующего ресурса (в неравенстве) меняется правая часть на доступную величину увеличения (по данным отчета). Далее производится перерасчет оптимального плана в связи с изменением величины запаса ресурса.
Важно! Если не использовать данную возможность по увеличению ресурсов, компания выходит на стабильный режим работы, т.к. остаются неосвоенные средства. При использовании возможности увеличения ресурса (в соотв.с анализом устойчивости) – все средства освоены и стабильный режим еще не наступил.
Четвертый период
Модель четвертого и последующих периодов подобны предыдущим.
В каждом периоде изменяющиеся характеристики – это затраты на закупку сырья и объем используемых сверхурочных работ. Они влекут изменение производственного плана, выручки и, тем самым, возможности закупки сырья в следующем периоде. Часть средств, выделенных на приобретение сырья, остаются неиспользованными. Это означает, что производственные планы последующих периодов совпадут с планом четвертого периода. Производство вышло на стабильный режим работы. Дальнейшее совершенствование деятельности происходит за счет других методов (не оптимальное планирование).
Во-первых, кое-что можно попытаться извлечь из стабилизации работы. Используемый объем сверхурочных работ подсказывает, что становится выгодным расширить состав постоянных работников. Далее, появляется возможность оптимизировать поставки сырья. До сих пор предприятие заказывало сырье на каждый период отдельно. Теперь можно подумать о том, не окажется ли выгоднее обеспечивать сырьем сразу несколько периодов. Такая оптимизация относится к задачам управления запасами. Следует проанализировать возможность и выгодность расширения мощностей. Эта задача связана с оценкой эффективности производственных инвестиций. В-третьих, дальнейшее развитие производственного процесса рано или поздно упрется в ограниченность спроса. Потребуются инвестиции в расширение спроса. Здесь полезной окажется информация о теневых ценах существующих границ спроса. Наконец, важным направлением является расширение ассортимента выпуска продукции. Анализ эффективности решений в этом направлении, возможно, потребует создания бизнес-плана.