Приложение п.1. Понятие события и его вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей Понятие события и вероятности события. Непосредственный подсчет вероятностей.

Событием (или «случайным событием») называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события.

Вероятность события А обозначается через р(А) или р.

Достоверным называется событие U, которое в результате опыта непременно должно произойти:

р(U) = 1.

Невозможным называется событие V, которое в результате опыта не может произойти:

р(V) = 0.

Вероятность любого события А заключена между нулем и единицей:

0 < р(А) < 1.

Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.

Примеры событий, образующих полную группу:

• выпадение герба и цифры при бросании монеты;

• появление 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков при бросании игральной кости;

• попадание и промах при выстреле и др.

Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое.

Если несколько событий образуют полную группу, несовместны и равновозможны, то они называются случаями.

Случай называется благоприятным событию, если появление этого случая влечет за собой появление события.

Если результаты опыта сводятся к схеме случаев, то вероятность события А вычисляется по формуле

;

где N — общее число случаев; n(A) – число случаев, благоприятных событию А.

Суммой двух событий A и B называется событие C, состоящее в появлении хотя бы одного из событий A или B.

Произведением двух событий A и B называется событие C, состоящее в совместном появлении события A и события B.

Теорема сложения вероятностей.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

р(А + B) = р(А) + р(B).

В случае, когда события А и В совместны, вероятность их суммы выражается формулой

р(A + В) = р(A) + р(В) – р(АВ),

где АВ – произведение событий А и В.

Событие называется противоположным событию А, если оно состоит в непоявлении события А.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

р(А) + р( ) = 1.

Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет.

Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет.

Условной вероятностью события A при наличии B называется вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B произошло. Эта вероятность обозначается через p(A|B).

Условие независимости события A от события B можно записать в виде

p(A|B) = p(A).

Теорема умножения вероятностей.

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого:

р(АВ) = р(А)р(В|А)

или

р(АВ) = р(В)р(А|В).

Для независимых событий A и В

р(АВ) = р(А)р(В).

Для нескольких событий A₁, A₂, … , A_n теорема умножения вероятностей будет иметь следующий вид:

р(A₁A₂…A_n) = р(A₁)р(A₂|A₁)р(A₃|A₁A₂)…р(A_n|A₁A₂…A_n-1).