8.4. Контрольные вопросы

1. Как с помощью порождающей матрицей линейного блокового кода осуществляется кодирование информационных слов?

2. Что такое совершенные коды?

3. Какими соображениями руководствуются при построении матрицы-дополнения для порождающей матрицы линейного блокового кода?

4. Как с помощью проверочной матрицы линейного блокового кода можно определить принадлежность кодового вектора данному коду?

5. Что понимают под синдромом при декодировании линейных блоковых кодов?

6. Каким образом строится стандартная таблица декодирования линейного блокового кода?

9. Построение и декодирование циклических кодов

9.1. Цель работы

Цель работы – приобрести умение строить циклические коды на основе порождающих многочленов, а также декодировать данные коды для обнаружения и исправления ошибок в сообщениях.

Работа рассчитана на 4 часа.

9.2. Основные теоретические сведения

9.2.1. Математическое описание циклических кодов. Построение циклических кодов

Циклические коды составляют большую группу наиболее широко используемых на практике линейных блоковых кодов. Их основное свойство, давшее им название, состоит в том, что каждый вектор, получаемый из исходного кодового вектора путём циклической перестановки его символов, также является разрешённым кодовым вектором.

Сдвиг осуществляется справа налево, причем крайний левый символ каждый раз переносится в конец комбинации. Например, если = [100110] является кодовым вектором циклического кода C, то = [010011] также является вектором того же кода.

При описании циклических кодов n-разрядные кодовые вектора представляются в виде многочленов (полиномов) фиктивной переменной х:

[c₀c₁…c_n–1] с_n–1(x) = c₀ + c₁x + … + c_n–1x^n–1 = . (9.1)

Показатели степени у переменной x соответствуют номерам разрядов (начиная с нулевого), а коэффициентами при x в общем случае являются элементы поля GF(q).

Идея построения циклических кодов базируется на использовании неприводимых в поле GF(q) многочленов.

Неприводимыми в поле GF(q) называются многочлены, которые не могут быть представлены в виде произведения многочленов низших степеней с коэффициентами. Они также, как простые числа не могут быть представлены произведениями других чисел. То есть неприводимыми многочленами называют многочлены, которые делятся без остатка только на себя или на единицу.

Неприводимые многочлены в теории циклических кодов играют такую же роль, как порождающие матрицы для групповых кодов.

Порождающим (производящим, образующим) многочленом циклического кода C называется неприводимый многочлен, при умножении … на который получается многочлен циклического кода C.

Любой многочлен циклического кода делится на порождающий многочлен без остатка. Если при делении кодового вектора на порождающий многочлен будет получен остаток, то в кодовом векторе присутствует ошибка.

❒ Пример 9.1. Получение кодовых векторов циклического кода.

. ❒

9.2.2. Декодирование циклических кодов, исправляющих одиночные ошибки

Ошибки в циклических кодах обнаруживаются и исправляются при помощи остатков от деления полученного кодового вектора на порождающий многочлен.

❒ Пример 9.2. Декодирование кодовых векторов циклического кода.

. ❒

9.2.3. Построение и декодирование БЧХ-кодов

9.2.4. Программная реализация построения и декодирования циклических кодов

9.3. Порядок выполнения работы

Данная лабораторная работа предполагает выполнение следующих этапов:

1. Изучить методические указания к лабораторной работе.

2. Для заданного числа информационных символов и корректирующей способности t = 1 получить порождающий многочлен циклического кода.

3. Осуществить кодирование заданных информационных векторов в циклический код с помощью порождающего многочлена.

4. Задать в полученных кодовых векторах циклического кода одиночные ошибки и произвести декодирование по синдрому.

5. Оформить и защитить отчет по лабораторной работе.

Таблица 6.3

Варианты заданий для построения линейных блоковых кодов

Вар.	Информационные векторы
1	00000110	00100110	01010101
2	10111010	11010101	10101011
3	00010100	00001101	00100010
4	10010100	00110001	10011101
5	00011110	01100000	00100010
6	11100011	00011111	10011101
7	01001010	00110010	01000100
8	10001011	00001101	11010001
9	00010101	10001110	01111001
10	11011110	10110001	10100001
11	01000010	10011110	01011101
12	11000011	11000001	10011101
13	00011010	11010100	00101010
14	10000111	11000110	10010001
15	00001110	10011100	00010011
16	10011100	00110101	11011101
17	00101100	00101000	11000100
18	00010111	11101110	00010001
19	10110100	01011001	11000100
20	00010011	10000110	11100011
21	00101110	00100100	01101000
22	10101101	11010000	01100011
23	10000110	00100100	00011000
24	00000101	11100100	01111011

9.4. Контрольные вопросы

1. В чем заключается основная особенность такого класса линейных блоковых кодов, как циклические коды?

2. Какие многочлены называют неприводимыми в поле GF(q)?

3. Что понимают под порождающими многочленами циклических кодов?

4. Как осуществляется получение кодовых векторов циклического кода с помощью порождающих многочленов?

5. ?

10. Шифрование сообщений методами замены и перестановки

10.1. Цель работы

Цель работы – .

10.2. Основные теоретические сведения

10.3. Порядок выполнения работы

Данная практическая работа предполагает выполнение следующих этапов:

1. Изучить методические указания к практической работе.

2.

10.4. Пример выполнения работы

10.5. Контрольные вопросы

1.

2.

3.

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черемушкин А.В. Основы криптографии: Учеб. пособие. 3-е изд., испр. и доп. – М.: Гелиос АРВ, 2005.

2. Ватолин Д., Ратушняк А., Смирнов М., Юкин В. Методы сжатия данных. Устройство архиваторов, сжатие изображений и видео. – М.: ДИАЛОГ–МИФИ, 2002.

3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. пособие для студ. втузов. – М.: Издательский центр «Академия», 2003.

4. Вернер М. Основы кодирования: Учебник для ВУЗов. – М.: Техносфера, 2006.

5. Дмитриев В.И. Прикладная теория информации. – М.: Высш. шк., 1989.

6. Духин А.А. Теория информации. – М.: Гелиос АРВ, 2007.

7. Кудряшов Б.Д. Теория информации. – СПб.: Питер, 2009.

8. Лидовский В.В. Теория информации: Учебное пособие. – М.: Компания Спутник +, 2004.

9. Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение: Пер. с англ. – М.: Техносфера, 2005.

10. Орлов В.А., Филипов Л.И. Теория информации в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для втузов. – М.: Высш. школа, 1976.

11. Осипян В.О., Осипян К.В. Криптография в задачах и упражнениях. – М.: Гелиос АРВ, 2004.

12. Панин В.В. Введение в теорию кодирования: учеб. пособие для студентов вузов. – 2-е изд., испр. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011.

13. Панин В.В. Основы теории информации: учеб. пособие для студентов вузов. – 3-е изд., испр. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.

14. Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки: Пер. с англ. – М.: Мир, 1976.

15. Сэломон Д. Сжатие данных, изображения и звука. – М.: Техносфера, 2004. – 368 с.

16. Хэмминг Р.В. Теория кодирования и теория информации: Пер. с англ. – М.: Радио и связь, 1983.

17. Цымбал В.П. Задачник по теории информации и кодирования. – Киев: Вища школа, 1976.

18. Цымбал В.П. Теория информации и кодирование: Учебник. – 4-е изд. перераб. и доп. – Киев: Вища школа, 1992.