Расчет переходных процессов классическим методом

R1

rRr

i1

i3

C11111111

E

L1

R2

i2

R3

i₃=i_3св+i_3пр; можно предварительно рассчитать u_c1=u_c1пр+u_c1св , а затем определить i₃ = C₁

1. Принужденный режим

i_3пр=0 т.к. постоянный ток через С₁ не течет , х_с1=∞

х_L1=ω_L1=0 при постоянном токе i_2пр через L₁

R1

rRr

i_1пр

i_3пр

C11111111

E

L1

R2

i_2пр

R3

i_1пр = i_2пр =

u_с1пр = 0 (конденсатор закорочен)

R1

rRr

i_1пр

i_2пр

E

R2

R3

2. До коммутации

u_c1(0_)=0, i₂(0_)=0

Начальные условия для t=0

u_c1(0) = u_c1(0_) = 0; i₂(0) = i₂(0_) = 0;

R1

rRr

i3

E

R3

при t = 0 i₂(0) = 0, сл-но i₃(0) = ;

конденсатор закорочен, т.к. u_c(0) = 0

3. Свободный режим

R1

rRr

z(p)

pL1

R2

R3

z(p) = (R₁+R₃)+ = 0

(R₁+R₃)+ =

= (R₁+R₃)+ =

= (R₁+R₃)* +1 =

= (R₁+R₃)* p²C₁R₂L₁+pL²R₂+R₂)*(p²C²L²+1)=0

= 0 -(характеристическое уравнение, определим корни)

p*8*5*10^-3+p*(3+5)*5*10^-3+(3+5)*8+p²*50*10^-6*(3+5)*8*5*10^-3=0 ;

p²*1000*10^-9+p*5*10^-3+4=0 p₁=-1000 c^-1 p₂=-4000c^-1

Решение u_c1св=A₁e^p1t+A₂e^p2t (при условии, что корни отрицательные и разные)

4. Переходный процесс

u_c1=u_c1св=A₁e^p1t+A₂e^p2t

Необходимо иметь два начальных условия, чтобы определить А₁ и А₂

• для t=0 u_c1(0) =0 0= A₁+A₂ (1)

• i₃=i_3св = C₁ (i_3пр=0) i₃(0) =C₁ (для t=0) ;

;

A₁p₁e^p1t+A₂p₂e^p2t ; = A₁p₁+A₂p₂;

при t=0 A₁p₁+A₂p₂ = (2)

Из (1) и (2) определяем А1,А2

(1) и (2)

A₂*(p₂-p₁) = ;

;

u_c1св=A₁e^p1t+A₂e^p2t ;

u_c = 83.3e^-1000t-83.3e^-4000t ;

i_3св = C₁ ; A₁p₁e^p1t+A₂p₂e^p2t ;

i₃ = C₁*( A₁p₁e^p1t+A₂p₂e^p2t );

i₃ = -4.17*e^-1000t+16.7e^-4000t А

Порядок расчета переходных процессов операторным методом

Переходный процесс основанный на понятии изображения функций времени. Идея метода заключается в том, что из области действительного переменного t решение переносится в область комплексного переменного p=c+jw где операции дифференцирования и интегрирования более просты.

Переход от одной функции к другой осуществляется с помощью преобразования Лапласа. Данный метод облегчает решение системы интегро-дифференциальных уравнений, составленных для цепи по законам Кирхгофа, а также позволяет освободиться от нахождения постоянных интегрирования путем введения начальных условий в уравнения исходной системы.

1. Определяют независимые начальные условия i_L0, u_С0 в схеме до коммутации;

2. Составляют операторную схему замещения для исследуемой цепи после коммутации. Ненулевые начальные условия учитываются в схеме замещения введением внутренних ЭДС соответствующего направления;

3. Записывают для схемы замещения систему уравнений в изображениях с учетом выбранного расчетного метода (законы Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора). Из системы уравнений определяют искомое изображение тока или напряжения;

4. Находят оригинал (переходный ток или переходное напряжение) по полученному изображению, используя таблицу изображений или формулу теоремы разложения.

Расчет переходных процессов операторным методом

R1

rRr

i1

i3

C11111111

E

L1

R2

i2

R3

1. До коммутации (расчет из классического метода)

i₂(0)=i₂(0_)=0; U_c1(0)=U_c1(0_)=0

2. Операторная схема после коммутации

R1

φ₁(p)

rRr

I2(p)

I1(p)

I3(p)

R2

pL

R3

φ₂(p)=0

3. Расчет I₃(p)

φ₁(p)*( + = ;

= = ;

I₃(p) = = ;

I₃(p) = = ;

4. Расчет тока i₃(t) по теореме разложения

I₃(p) = == i₃(t) = +

p₁, p₂ - корни знаменателя F₂(p)

F₂(p) = = 0 ;

p*8*5*10^-3+p*(3+5)*5*10^-3+(3+5)*8+p²*50*10^-6*(3+5)*8*5*10^-3=0 ;

p²*1000*10^-9+p*5*10^-3+4=0 p₁=-1000 c^-1 p₂=-4000c^-1

F₁(p₁) = ER2L1pC1 = -0.2 B

F₁(p₂) = -0.8 B

F₂`(p₁) = R2L1+(R1+R3)L+2pC1(R1+R3)R2L1 = 0.048 Ом

F₂`(p₂) = -0.048 Ом

i₃(t) = + = + =

= -4.1 +16.6 А

при t=o i₃(0) = A

i₃(0) = A