5. Теория игр

Задача 5.1. Найдите седловую точку и значение игр для каждой из двух следующих игр. Платежные матрицы имеют вид:

; .

Задача 5.2. Определите области значений х, для которых стратегии и будут оптимальными в следующих играх:

; .

Задача 5.3. Определите, будут ли значения следующих игр больше, меньше или равны нулю:

; ;

; .

В задачах 5.4 - 5.21 решите игру с платежной матрицей:

Задача 5.4.	Задача 5.5.	Задача 5.6.
Задача 5.7.	Задача 5.8.	Задача 5.9.
Задача 5.10.	Задача 5.11.	Задача 5.12.
Задача 5.13.	Задача 5.14.	Задача 5.15.
Задача 5.16.	Задача 5.17.	Задача 5.18.
Задача 5.19.	Задача 5.20.	Задача 5.21.

Задача 5.22 Найдите и для платежной матрицы

.

Задача 5.23. Решите аналитически и графически, используя понятие доминирования, игры, определяемые следующими платежными матрицами:

, , , .

Задача 5.24. Постройте платежную матрицу двухпальцевой игры Морра, которая заключается в следующем. В игру играют два человека: каждый из них показывает один иди два пальца и одновременно называет число пальцев, которое, по его мнению, покажет его противник (естественно, противник этого не видит). Если один из игроков угадает правильно, он выигрывает сумму, равную сумме пальцев, показанных им и его противником. В противном случае – ничья (выигрыш равен нулю).

Найдите нижнюю и верхнюю цены игры.

Задача 5.25. Используя понятие доминирования, уменьшите размеры платежной матрицы:

Для последующих задач постройте платежную матрицу игры и сформулируйте соответствующую модель линейного программирования

Задача 5.26. Пусть сторона А засылает подводную лодку в один из n районов. Сторона В, располагая m противолодочными кораблями, желает обнаружить лодку противника. Вероятность обнаружения лодки в j-м районе ( равна . Предполагается, что обнаружение подлодки каждым кораблем является независимым событием. Сторона В может посылать в различные регионы разное количество кораблей (распределение m кораблей по регионам и есть вероятность обнаружения В). Сторона В стремится максимизировать вероятность обнаружения подлодки. Сторона А желает противоположного.

Вероятность обнаружения лодки в районе j, в котором находится кораблей (i – номер стратегии), равна , причем . Найдите оптимальное распределение противолодочных кораблей по регионам.

Рассмотреть частный случай: , , , .

Задача 5.27. Каждому из игроков выдается по бубновому и трефовому тузу. Игрок 1 получает также бубновую двойку, а игрок 2 – трефовую. При первом ходе игрок 1 выбирает и откладывает одну из своих карт, а игрок 2, не зная карты, выбранной игроком 1, также откладывает одну из своих карт. Если были отложены карты одной масти, о выигрывает игрок 1, в противном случае выигравшим считается игрок 2. Если отложены две двойки, выигрыш равен нулю. Размер выигрыша определяется картой, отложенной победителем (тузу приписывается одно очко, двойке – два).

Задача 5.28. Фирма изготавливает железобетонные панели, используя в качестве основного сырья цемент. В связи с неопределенным спросом на изделия потребность в сырье в течение месяца также на определена. Цемент поставляется в мешках, причем известно, что потребность может составлять мешков. Резервы сырья на складе могут составлять мешков в месяц. Учитывая, что удельные затраты на хранение сырья равны , а удельные издержки дефицитности сырья (потери, связанные с отсутствием необходимого количества цемента на складе) равны , определить оптимальную стратегию управления запасами цемента на складе.

Рассмотреть частный случай: , , ;

D = (1500, 2000, 2500, 3500, 4000); R = (1500, 2000, 2500, 3500, 4000).

Задача 5.29. Игрок 2 прячет некоторый ценный предмет в одном из n мест, а игрок 1 этот предмет ищет. Если он его находит, то получает сумму , где , в противном случае – не получает ничего.

Задача 5.30. Два игрока независимо друг от друга называют по одному числу из диапазона 1 – 5. Если сумма чисел нечетная, то игрок 2 платит игроку 1 сумму, равную максимальному из чисел; если четная, то платит игрок 1.

Задача 5.31. Два игрока имеют по n рублей и предмет ценой . Каждый игрок делает заявку в запечатанном конверте, предлагая i рублей (где i – одно из целых чисел от 0 до n) за предмет. Записавший большее число получает предмет и платит другому предложенную им сумму. Если оба игрока заявляют одинаковую сумму, то предмет назначается без компенсирующего одностороннего платежа одному из игроков путем бросания монеты, так что ожидаемая доля каждого в предмете составляет в этом случае половину с. Постройте платежную матрицу игры и определите, имеет ли игра седловую точку.