1.3 Аксиомы и теоремы алгебры логики

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции), (аналог дизъюнкции), унарной операцией (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

Свойства и аксиомы:

Конъюнкция относительно дизъюнкции	Дизъюнкция относительно конъюнкции
;	.
;	.
;	.
;	.
;	.
.
;	.
;	.
дополнение 0 есть 1 ;	дополнение 1 есть 0 .
;	.

1.3.1 Законы де Моргана

Законы де Мо́ргана (правила де Мо́ргана) — логические правила, связывающие пары дуальных логических операторов при помощи логического отрицания.

Огастес де Морган первоначально заметил, что в классической пропозициональной логике справедливы следующие соотношения:

или

1.4 Представление логических функций

Теорема Поста открывает путь к представлению булевых функций синтаксическим способом, который в ряде случаев оказывается намного удобнее, чем таблицы истинности. Отправной точкой здесь служит нахождение некоторой полной системы функций . Тогда каждая булева функция сможет быть представлена некоторым термом в сигнатуре Σ, который в данном случае называют также формулой.

СДНФ (Совершенная Дизъюнктивная Нормальная Форма) — это такая ДНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

• в ней нет одинаковых элементарных конъюнкций

• в каждой конъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв

• каждая элементарная конъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную ДНФ пропозициональных букв, причем в одинаковом порядке.

СДНФ содержит минтермы. Минтерм — конъюнктивный одночлен от переменных, конъюнкция этих переменных или их отрицаний. Легко видеть, что минтерм принимает значение 1 при единственном из всех возможных в наборе аргументов. Если в одночлене одновременно содержатся переменная и ее отрицание, то он всегда равен 0.

Для любой функции алгебры логики существует своя СДНФ, причем единственная.

СКНФ (Совершенная Конъюнктивная Нормальная Форма) — это такая КНФ, которая удовлетворяет трём условиям:

- в ней нет одинаковых элементарных дизъюнкций

- в каждой дизъюнкции нет одинаковых пропозициональных букв

- каждая элементарная дизъюнкция содержит каждую пропозициональную букву из входящих в данную КНФ пропозициональных букв.

СКНФ содержит макстермы. Дизъюнктивный одночле́н (максте́рм) — дизъюнкция этих переменных или их отрицаний.

Макстерм равен 0 только при единственном наборе аргументов. Если макстерм содержит одновременно переменную и её отрицание, то он всегда равен 1.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид дизъюнкции конъюнкций литералов. Любая булева формула может быть приведена к ДНФ. Для этого можно использовать закон двойного отрицания, закон де Моргана, закон дистрибутивности. Дизъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем.

Конъюнкти́вная норма́льная фо́рма (КНФ) в булевой логике — нормальная форма, в которой булева формула имеет вид конъюнкции дизъюнкций литералов. Конъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем. Любая булева формула может быть приведена к КНФ. Для этого можно использовать: Закон двойного отрицания, Закон де Моргана, Закон дистрибутивности.