2.2 Выявление и характеристика основной тенденции развития временного ряда
Методы анализа основной тенденции (тренда) в рядах динамики
Тренд - долговременная компонента ряда динамики. Она характеризует основную тенденцию его развития. Для определения тренда применяются различные приемы и методы. Все они основаны на том, что остальные компоненты динамического ряда рассматриваются как мешающие процедуре его определения.
Наличие тренда определяется на основании проверки динамического ряда на одну из трех тенденций:
- среднего уровня, когда динамика ряда группируется вокруг некоторого среднего значения;
- дисперсии, когда тенденция плавно изменяется во времени (либо убывает, либо возрастает);
- автокорреляции, когда в тенденции существует возможность к изменениям, то есть к изменению тенденции под воздействием сильного нерегулярного фактора.
После установления наличия тенденции в ряду динамики, проводится ее описание с помощью методов сглаживания, которые можно условно разделить на две группы:
1) Механическое выравнивание отдельных членов ряда динамики с использованием фактических значений соседних уровней;
2) Выравнивание с применением кривой, проведенной между конкретными уровнями таким образом, чтобы она отображала тенденцию, присущую ряду, и одновременно освободила его от незначительных колебаний.
К первой группе методов относятся:
- метод усреднения по левой и правой половине (Разделяют ряд динамики на две части, находят для каждой из них среднее арифметическое значение и проводят через полученные точки линию тренда на графике),
- метод укрупненных интервалов (В этом случае данные первоначального ряда динамики преобразуется в ряды более продолжительных периодов),
- метод скользящей средней (Сглаживание ряда динамики с помощью скользящей средней заключается в том, что вычисляется средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем – средний уровень из такого же числа уровней начиная со второго, далее – начиная с третьего и т.д. Таким образом, при расчетах среднего уровня как бы «скользят» по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень вначале и добавляя один следующий.Отсюда название – скользящая средняя.) и другие.
Ко второй группе методов (метод аналитического выравнивания) относятся методы выбора экстраполирующей кривой, которой может быть прямой; криволинейной функцией; экспонента; логарифмическая кривая и пр.
Суть этого метода заключается в подборе математической функции, которая наиболее точно отражает существующую зависимость.
Прямая имеет вид: yt=a0+a1t
Парабола имеет вид: yt=a0+a1t+а2t
Логарифмическая функция имеет вид: yt=a0+a1lgt
При выборе функции, когда не очевидно какую из функций выбрать, рассматриваются несколько типов развития, затем с помощью специального показателя (ошибки аппроксимации), определяется какая из функций более точная.
где
m – число, параметров в уравнение тренда,
yt – уровень ряда(фактический)
yi – теоретический уровень ряда.
Ошибка аппроксимации показывает, на сколько в среднем отклоняются получаемые теоретические значения от фактических данных. За наиболее адекватную принимается модель, у которой ошибка меньше.
Для вычисления параметров функций используется метод наименьших квадратов, с его помощью составляется система нормальных уравнений.
Для упрощения расчетов параметров функции в рядах динамики используется способ отсчета времени от условного начала.
Сглаживание с помощью трехчленной скользящей средней |
||||||
|
|
|
|
|
Таблица16
|
|
Наименование груза |
Объем переработанного груза, т.т. |
|||||
годы |
||||||
2005 |
2006 |
2007 |
2008 |
2009 |
||
Песок |
--- |
57 |
56 |
53,66 |
--- |
|
Щебень |
--- |
33 |
31 |
29 |
--- |
|
ПГС |
--- |
87,66 |
83,66 |
81 |
--- |
|
Всего |
--- |
177,66 |
170,66 |
163,66 |
--- |
|
Вспомогательная таблица для расчета параметров линейной функции и стандартной ошибки аппроксимации
Песок |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Таблица 17
|
|
Годы |
Объем перевозок грузов, т.т., y |
Обозначения временных дат, t |
t2 |
yt |
Теоретический уровень, yt |
y-yt |
(y-yt)2 |
2005 |
57 |
-2 |
4 |
-114 |
58,4 |
-1,4 |
1,96 |
2006 |
59 |
-1 |
1 |
-59 |
56,9 |
2,1 |
4,41 |
2007 |
55 |
0 |
0 |
0 |
55,4 |
-0,4 |
0,16 |
2008 |
54 |
1 |
1 |
54 |
53,9 |
0,1 |
0,01 |
2009 |
52 |
2 |
4 |
104 |
52,4 |
-0,4 |
0,16 |
|
277 |
0 |
10 |
-15 |
277 |
--- |
6,7 |
Yt= 55,4- 1,5t
Ошибка аппроксимации: 1,4944341
Щебень |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Таблица 18
|
|
Годы |
Объем перевозок грузов, т.т., y |
Обозначения временных дат, t |
t2 |
yt |
Теоретический уровень, yt |
y-yt |
(y-yt)2 |
2005 |
35 |
-2 |
4 |
-70 |
35 |
0 |
0 |
2006 |
34 |
-1 |
1 |
-34 |
33,1 |
0,9 |
0,81 |
2007 |
30 |
0 |
0 |
0 |
31,2 |
-1,2 |
1,44 |
2008 |
29 |
1 |
1 |
29 |
29,3 |
-0,3 |
0,09 |
2009 |
28 |
2 |
4 |
56 |
27,4 |
0,6 |
0,36 |
|
156 |
0 |
10 |
-19 |
156 |
--- |
2,7 |
Yt=31,2-1,9t
Ошибка аппроксимации: 0,948683
ПГС |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Таблица 19
|
|
Годы |
Объем перевозок грузов, т.т., y |
Обозначения временных дат, t |
t2 |
yt |
Теоретический уровень, yt |
y-yt |
(y-yt)2 |
2005 |
93 |
-2 |
4 |
-186 |
91,4 |
1,6 |
2,56 |
2006 |
90 |
-1 |
1 |
-90 |
88,3 |
1,7 |
2,89 |
2007 |
80 |
0 |
0 |
0 |
85,2 |
-5,2 |
27,04 |
2008 |
81 |
1 |
1 |
81 |
82,1 |
-1,1 |
1,21 |
2009 |
82 |
2 |
4 |
164 |
79 |
3 |
3 |
|
426 |
0 |
10 |
-31 |
426 |
--- |
36,7 |
Yt=85,2- 3,1t
Ошибка аппроксимации: 3,497618
Всего |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Таблица 20
|
|
Годы |
Объем перевозок грузов, т.т., y |
Обозначения временных дат, t |
t2 |
yt |
Теоретический уровень, yt |
y-yt |
(y-yt)2 |
2005 |
185 |
-2 |
4 |
-370 |
184,8 |
0,2 |
0,04 |
2006 |
183 |
-1 |
1 |
-183 |
178,3 |
4,7 |
22,09 |
2007 |
165 |
0 |
0 |
0 |
171,8 |
-6,8 |
46,24 |
2008 |
164 |
1 |
1 |
164 |
165,3 |
-1,3 |
2,6 |
2009 |
162 |
2 |
4 |
324 |
158,8 |
3,2 |
10,24 |
|
859 |
0 |
10 |
-65 |
859 |
--- |
81,21 |
Yt=171,8- 6,5t
Ошибка аппроксимации: 5,202883
Вспомогательная таблица для расчета параметра параболы второго порядка и стандартной ошибки аппроксимации
Песок |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 21
|
|
Годы |
Объем перевозок грузов, т.т. |
Обозначения временных дат, t |
t2 |
t3 |
t4 |
yt |
yt2 |
Теоретический уровень, yt |
y-yt |
(y-yt)2 |
2005 |
57 |
-2 |
4 |
-8 |
16 |
-114 |
228 |
57,71 |
-0,71 |
0,5041 |
2006 |
59 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-59 |
59 |
57,26 |
1,74 |
3,0276 |
2007 |
55 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
56,11 |
-1,11 |
1,2321 |
2008 |
54 |
1 |
1 |
1 |
1 |
54 |
54 |
54,26 |
-0,26 |
0,0676 |
2009 |
52 |
2 |
4 |
8 |
16 |
104 |
208 |
51,71 |
0,29 |
0,0841 |
|
277 |
0 |
10 |
0 |
34 |
-15 |
549 |
277 |
--- |
4,9155 |
Yt=56,11- 1,5t – 0,35t2
Ошибка аппроксимации: 1,567721
Щебень |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 22
|
|
Годы |
Объем перевозок грузов, т.т. |
Обозначения временных дат, t |
t2 |
t3 |
t4 |
yt |
yt2 |
Теоретический уровень, yt |
y-yt |
(y-yt)2 |
2005 |
35 |
-2 |
4 |
-8 |
16 |
-70 |
140 |
34,6 |
0,4 |
0,16 |
2006 |
34 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-34 |
34 |
32,91 |
1,09 |
1,1881 |
2007 |
30 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
30,8 |
-0,8 |
0,64 |
2008 |
29 |
1 |
1 |
1 |
1 |
29 |
29 |
29,11 |
-0,11 |
0,0121 |
2009 |
28 |
2 |
4 |
8 |
16 |
56 |
112 |
28 |
0 |
0 |
|
156 |
0 |
10 |
0 |
34 |
-19 |
315 |
156 |
--- |
2,0002 |
Yt=30,8- 1,9t+ 0,21t2
Ошибка аппроксимации: 1,00004
ПГС |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 23
|
|
Годы |
Объем перевозок грузов, т.т. |
Обозначения временных дат, t |
t2 |
t3 |
t4 |
yt |
yt2 |
Теоретический уровень, yt |
y-yt |
(y-yt)2 |
2005 |
93 |
-2 |
4 |
-8 |
16 |
-186 |
372 |
94,1 |
-1,1 |
1,21 |
2006 |
90 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-90 |
90 |
86,95 |
3,05 |
9,3025 |
2007 |
80 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
82,5 |
-2,5 |
6,25 |
2008 |
81 |
1 |
1 |
1 |
1 |
81 |
81 |
80,75 |
0,25 |
0,0625 |
2009 |
82 |
2 |
4 |
8 |
16 |
164 |
328 |
81,7 |
0,3 |
0,09 |
|
426 |
0 |
10 |
0 |
34 |
-31 |
871 |
426 |
--- |
16,915 |
Yt= 82,5- 3,1t+ 1,35t2
Ошибка аппроксимации: 2,90817
Всего |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 24
|
|
Годы |
Объем перевозок грузов, т.т. |
Обозначения временных дат, t |
t2 |
t3 |
t4 |
yt |
yt2 |
Теоретический уровень, yt |
y-yt |
(y-yt)2 |
2005 |
185 |
-2 |
4 |
-8 |
16 |
-370 |
740 |
187,21 |
-2,21 |
4,8841 |
2006 |
183 |
-1 |
1 |
-1 |
1 |
-183 |
183 |
177,08 |
5,92 |
35,0464 |
2007 |
165 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
169,37 |
-4,37 |
19,0969 |
2008 |
164 |
1 |
1 |
1 |
1 |
164 |
164 |
164,08 |
-0,08 |
0,0064 |
2009 |
162 |
2 |
4 |
8 |
16 |
324 |
648 |
161,21 |
0,79 |
0,6241 |
|
859 |
0 |
10 |
0 |
34 |
-65 |
1735 |
859 |
--- |
59,6579 |
Yt=169,37 -6,5t+ 1,21t2
Ошибка аппроксимации: 5,46158
Вывод: Таким образом, рассчитав ошибку аппроксимации по объему перевезенного песка увидели, что у прямой отклонение от фактических данных меньше, и оно составляет σ=1,49443 Следовательно, прямая более точно отражает фактический уровень ряда.
Ошибка аппроксимации по объему перевезенного щебня у прямой равна σ=0,948683, а у параболы σ =1,00004. Следовательно, можно сделать вывод, что прямая точнее отражает фактический уровень ряда.
Ошибка аппроксимации по перевезенной ПГС у прямой σ= 3,497618, а у параболы равна σ= 2,90817, следовательно, парабола точнее отражает фактический уровень ряда.
Ошибка аппроксимации, всего перевезенного груза, прямой также меньше, как у щебня и песка, и составляет σ=5,202883.
