48.Общие понятия об устойчивости систем автоматического управления.

Система автоматического регулирования или управ­ления как любая динамическая система характеризует­ся переходным процессом, возникающим в ней при нару­шении ее равновесия каким-либо воздействием; это мо­гут быть сигналы управления, настройки, помехи и т. п.

Переходный процесс х(t) зависит как от свойств си­стемы, так и от вида возмущения. В переходном про­цессе всегда следует различать две составляющие. Пер­вая составляющая — это свободные движения системы х_с(t), определяемые начальными условиями и свойства­ми самой системы; вторая составляющая — вынужден­ные движения х_в(t), определяемые возмущающим воз­действием и свойствами системы. Таким образом, можно написать: Одной из основных динамических характеристик систе­мы регулирования является ее устойчивость (или не­устойчивость). Для выполнения практических задач регу­лирования система прежде всего должна быть устойчива. Под устойчивостью понимается свойство системы возвра­щаться к состоянию установившегося равновесия после устранения возмущения, нарушившего указанное равно­весие. Неустойчивая система не возвращается к состоя­нию равновесия, из которого она по тем или иным при­чинам вышла, а непрерывно удаляется от него или совершает около него недопустимо большие колебания. Очевидно, что неустойчивые системы регулирования при­меняться для работы не могут. Поэтому для того чтобы система могла правильно реагировать на сигнал управ­ления, настройки или изменения нагрузки, в переходном процессе свободная составляющая с течением времени должна стремиться к нулю,

т. е. Следовательно, характер свободного движения системы определяет ее устойчивость или неустойчивость.

49. Критерии устойчивости линейных систем.

Для суждения об устойчивости системы регулирова­ния, очевидно, достаточно лишь иметь представление о знаках всех корней характеристического уравнения.

Признаки, позволяющие иметь суждение о знаках корней характеристического уравнения без решения са­мого уравнения, получили в теории автоматического ре­гулирования название критериев устойчивости.

Естественно, что применение того или иного критерия устойчивости дает возможность судить об устойчивости более просто и эффективно, чем это имеет место при обычном решении уравнения, особенно когда порядок таких уравнений высок.

Кроме того, критерии устойчивости позволяют уста­новить причину неустойчивости и наметить пути и средства достижения устойчивости системы. Если найти соотношения между коэффициентами дифференциаль­ного уравнения системы, при которых вещественная часть корней характеристического уравнения меняет знак с минуса на плюс, то тем самым будет сформули­ровано условие перехода процесса регулирования от устойчивого к неустойчивому режиму, а при обратном изменении знака, наоборот, от неустойчивого к устой­чивому режиму.

Впервые задача о нахождении критерия, позво­ляющего судить об устойчивости линейных систем, бы­ла сформулирована в 1868 г. Дж.Максвеллом.

В 1876 г. проф. И. А. Вышнеградский нашел усло­вия, при соблюдении которых регулируемая система, описываемая дифференциальным уравнением третьего порядка, будет устойчива. Эти условия называют кри­терием Вышнеградского.

Общий метод суждения о корнях характеристиче­ского уравнения любого порядка был предложен в 1877 г. Раусом в форме алгоритма, т. е. в виде пра­вила, определяющего последовательность операций, не­обходимых для решения задачи. Эти правила будем называть критерием Рауса. В 1895 г. швейцарский ма­тематик Гурвиц по предложению словацкого ученого Стодолы сформулировал условия, при соблюдении ко­торых вещественные части комплексных корней ха­рактеристического уравнения любого порядка будут отрицательны, и выразил эти условия в форме опре­делителей, состоящих из коэффициентов характеристи­ческого уравнения. Эти правила будем называть крите­рием Гурвица.

Все эти условия устойчивости можно назвать алге­браическими критериями.

Алгебраические критерии весьма просты для иссле­дования систем, процессы в которых описываются урав­нениями относительно невысокого порядка. Однако уже для уравнений пятого порядка и выше применение кри­териев Рауса и Гурвица делается затруднительным. Трудности еще больше возрастают, если требуется уста­новить влияние какого-либо параметра на устойчивость процесса. В подобных случаях, а также для систем, ха­рактеризуемых уравнениями высоких порядков, оказы­вается более удобным исследовать устойчивость системы, применяя так называемые частотные критерии, обладающие большой наглядностью, обусловленной тем, что задача сводится к изучению плоской кри­вой, которая может быть построена сравнительно про­сто. В 1932 г. Найквист, исходя из теоремы Коши, пред­ложил исследовать устойчивость усилителей с обрат­ной связью в радиосхемах, применяя для этого частот­ные методы (амплитудно-фазовые характеристики). В 1938 г. А. В. Михайлов, используя принцип аргумен­та, применил частотные методы для исследования устойчивости систем автоматического регулирования.