36.Общее представление о прямом и обратном преобразованиях Лапласа

Если имеется некоторая функция ƒ(t) независимой вещественной переменной t (обычно времени), то пре­образование Лапласа, производимое над функцией ƒ(t) и обращающее ее в функцию F(р), определяется соот­ношением

(1)

здесь р - произвольная комплексная величина, обозна­чаемая , где σ и ω - вещественные переменные.

Функциональное преобразование вида (1), осуще­ствляемое над функцией ƒ(t), часто сокращенно обозна­чается так (2)

Функция ƒ(t) называется оригиналом, а функция F(р) - изображением функции ƒ(t).

Следует заметить, что при применении преобразова­ния Лапласа к функции ƒ(t) рассматриваются значения этой функции лишь при t>0, т. е. в технических зада­чах после приложения к системе внешних возмущающих воздействий, а именно это и представляет практический интерес при решении задач автоматического регулиро­вания.

Для того чтобы преобразованная функция была опре­делена, достаточно потребовать, чтобы интеграл (5.1) существовал для некоторой области р, за пределами ко­торой этот интеграл может и не иметь смысла. Так, например, изображение оригинала, равного еди­нице, т. е. если ƒ(t) = [1], будет равно Здесь при вычислении интеграла предполагается, что ве­щественная часть р положительна (σ>0). При σ≤0 ин­теграл не существует, но преобразованная функция от единицы всегда равняется 1/р.

Может случиться, что интеграл (5.1) не существует ни при каких значениях р. В этом случае преобразова­ние (2) невозможно. Однако в физических задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в пол­ных производных с постоянными коэффициентами, и при обычном типе возмущающих воздействий это преобра­зование всегда осуществимо.

Наряду с прямым преобразованием (1) функции времени ƒ(t) в F(р), т. е. наряду с операцией перехода от функции вещественного переменного t к функции ком­плексного переменного р, пользуются обратным преоб­разованием, т. е. преобразованием изображения в ори­гинал. При этом производится обратная операция опре­деления оригинала ƒ(t) по заданному изображению F(р). Эта операция обозначается символом L^-1 или 1/L. Таким образом, в этом случае имеем (3) При этом преобразовании теорема о начальном значе­нии функции ƒ(t) записывается так а теорема о конечном значении

37. Нахождение Лапласова изображения для линейного дифференциального уравнения

Положим, что линейная система автоматического ре­гулирования описывается дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами следу­ющего вида (4)

Умножая левую и правую части уравнения (4) на е^-pt и интегрируя в пределах от 0 до ∞, получим

Воспользовавшись вышеприведенными обозначениями, пра­вилами о преобразованиях Лапласа, можно написать Полагая, что система находится при нулевых начальных условиях и зная лапласово изображение для производ­ных, для данного случая получим (5)

Или

(6)

Выражение (6) является лапласовым изображением дифференциального уравнения (4) при нулевых начальных условиях.