Гармонический ряд

Исследуем сходимость ряда с общим членом:

. (13.10)

Этот ряд называется гармоническим. Запишем этот ряд более детально:

.

Сравним данный ряд с рядом вида:

.

Для всех имеет место соотношение: .

Вычислим -ю частичную сумму, где ( – число скобок в частичной сумме) вспомогательного ряда: .

Если , то . То есть ряд расходится.

Так как , то . Следовательно, гармонический ряд (22.10) является рядом расходящимся.

Ряд, который получен из данного отбрасыванием первых членов

= , (13.11)

называется -м остатком ряда.

У остатка первым членом является член исходного ряда.

Теорема 1. Если ряд (13.1) сходится, то сходится и его остаток и, наоборот, если сходится остаток ряда, то сходится и данный ряд.

Следствие. Сходимость или расходимость ряда не нарушается, если изъять из него или прибавить к этому ряду конечное число членов.

Теорема 2. Если ряд сходится, то сходится и ряд, который получен из данного умножением на постоянное число.

Теорема 3. Если ряды с общими членами и сходящиеся и

, а ,

то для любых чисел и ряд с общим членом: сходится, а его сумма равна: .

Теорема (необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел общего члена ряда при равен 0, то есть:

.

Нужно иметь в виду, что когда необходимое условие не выполняется, то исследуемый ряд является расходящимся.

То есть условие является достаточным признаком расходимости числового ряда. Если необходимый признак выполняется, то это не значит, что соответствующий ряд сходится. То есть вопрос остается открытым и нуждается в дальнейшем исследовании.

Пример 6. Исследовать на сходимость ряды:

а) .

Решение.

Найдем предел общего члена ряда: ,

то есть необходимый признак не выполняется и ряд расходится;

б) .

Решение.

Общий член этого ряда имеет вид: .

Рассмотрим вспомогательные ряды: и . Каждый из этих рядов с общими членами и сходится, поскольку эти ряды образуются бесконечными убывающими геометрическими прогрессиями (13.8).

В результате применения теоремы 3 исследуемый ряд сходится и его сумма равна сумме первого и второго вспомогательных рядов.

13.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: признак сравнения, Даламбера, Коши, интегральный признак Маклорена – Коши

Ряды, члены которых не изменяют знаки в зависимости от (номера), называют знакопостоянными. Ряд называется знакоположительным, если все члены данного ряда .

Признак сравнения

Рассмотрим ряды, члены которых не изменяют знаки в зависимости от его номера . Допустим, что члены ряда .

Теорема. Пусть имеем два знакоположительных ряда:

(13.12)

(13.13)

Если для всех членов этих рядов выполняются неравенства:

, (13.14)

то из сходимости ряда с общим членом вытекает сходимость ряда , а из расходимости ряда с общим членом вытекает расходимость ряда с общим членом . Считаем, что неравенство (13.14) выполняется с , иначе конечное число членов ряда можно отбросить.

Отметим, что применяя признак сравнения, можно использовать ряд бесконечной убывающей геометрической прогрессии (13.8) как пример сходящегося ряда и гармонический ряд (13.10) как пример расходящегося ряда.

При решении задач чаще используется признак сравнения рядов в предельной форме, а именно: если существует конечный и отличающийся от нуля предел:

, (13.15)

то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.

Действительно, если начиная с некоторого номера выполняется условие (13.15), то для любого и к ряду с общим членом можно применить признак сравнения.

Пример 7. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Запишем очевидное неравенство: , которое имеет место при .

Перейдем к обратному неравенству: .

Рассмотрим два ряда: и .

Ряд с общим членом сходится как бесконечная геометрическая прогрессия со знаменателем меньше единицы.

Следовательно, по признаку сравнения сходится и ряд с общим членом .

Пример 13.8. Исследовать на сходимость ряд .

Решение.

Для сравнения возьмем ряд с общим членом .

Тогда , следовательно ряды ведут себя одинаково, а именно данный ряд расходится, потому что ряд расходится как гармонический.