Лекция 13. Числовые ряды

13.1. Частные суммы ряда. Необходимое условие сходимости ряда

Пусть задана числовая последовательность .

Выражение вида:

(13.1)

называется числовым рядом.

Числа имеют название членов ряда, называется общим членом ряда.

Числовой ряд считаем заданным если известна формула общего члена ряда, или некоторое правило, по которому можно найти произвольный член ряда.

Пример 1. Задан общий член ряда. Записать ряд в виде суммы его членов.

а) . (13.2)

Решение.

Подставим в общий член ряда (13.2) последовательно Запишем ряд в виде: ;

б) . (13.3)

Подставим в общий член ряда (13.3) последовательно Запишем ряд в виде: ;

в) . (13.4)

При ряд имеет вид: ;

г) . (22.5)

Соответствующий ряд имеет вид:

В приведенных примерах ряды были записаны, если известна формула общего члена ряда. Иногда по нескольким членам ряда предлагается найти общий член ряда.

Пример 2. Написать формулу общего члена ряда:

Решение.

Каждый член ряда в числителе имеет 1, а в знаменателе – нечетные числа, а именно: второй множитель на шесть единиц больше первого. Учтем, что знаки членов ряда чередуются, поэтому:

.

Сумма первых членов ряда называется частной суммой ряда.

То есть

, , ,…,

,…

Последовательность частичных сумм может иметь конечный предел, бесконечный предел или не иметь предела вообще.

Числовой ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится, то есть существует конечный предел:

. (13.6)

Число называется суммой ряда.

Ряд называется расходящимся, если предел не существует, или же он равен бесконечности.

Если ряд сходится и его сумма равна , то записывают:

. (13.7)

Пример 3. Исследовать ряд на сходимость

.

Решение.

Найдем сумму первых членов данного ряда .

По формуле суммы членов арифметической прогрессии имеем:

, тогда ,

то есть ряд расходится.

Пример 4. Исследовать ряд на сходимость

.

Решение.

Очевидно, что общий член ряда можно записать так:

= ,

тогда

,

и ,

то есть ряд сходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд

Решение.

Последовательность частичных сумм этого ряда:

, , , , ...

В данном примере последовательность частичных сумм ограничена, но не имеет предела, следовательно, этот ряд расходится.

Ряд геометрической прогрессии

Рассмотрим бесконечную геометрическую прогрессию с общим членом: и соответствующий числовой ряд:

(13.8)

Частичная сумма такого ряда имеет вид:

. (13.9)

Возьмем предел этого соотношения:

.

В зависимости от числового значения знаменателя прогрессии частичная сумма при будет сходящейся или расходящейся.

Рассмотрим возможные случаи:

1) . Предел частичной суммы ряды при существует, то есть:

, так как .

Следовательно ряд, построенный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии сходится;

2) . Предел частичной суммы ряда при бесконечный, то есть: , так как . Следовательно, ряд расходится;

3) . В этом случае частичная сумма ряда может быть вычислена таким образом: .

Следовательно, , то есть ряд расходится;

4) . Частичную сумму ряда можно вычислить таким образом:

.

Следовательно, , если – четное, , если – нечетное. То есть не существует, а это значит, что ряд расходится.

Итак, ряд сходится при и расходится при .