Частные решения неоднородного уравнения

Правая часть уравнения	Корни характеристического уравнения	Вид частного решения
где – многочлен степени	а) число 0 не является корнем характеристического уравнения	– многочлен степени с неопределенными коэффициентами
	б) число 0 является корнем кратности характеристического уравнения
	а) число не является корнем характеристического уравнения
	б) число является корнем кратности характеристического уравнения
	а) число не является корнем характеристического уравнения	где и – многочлены с неопределенными коэффициентами
	б) число является корнем характеристического уравнения
	а) число не является корнем характеристического уравнения
	б) число является корнем характеристического уравнения

Пример 6. Найти решение уравнения .

Решение.

Имеем неоднородное уравнение. Составим характеристическое уравнение, которое соответствует однородному уравнению:

.

Его корни .

По формуле общее решение однородного уравнения имеет вид:

.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

,

потому что , где , а , то есть совпадает с корнем характеристического уравнения.

Для нахождения подставляем , , в уравнение, где

;

Получаем тождество, когда решение подставляем в уравнение, а именно:

Тогда

.

Приравниваем коэффициенты при и слева и справа. Следовательно, имеем систему уравнений для нахождения .

.

Откуда , . Тогда .

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения:

.

Пример 21.7. Найти решение уравнения

.

Решение.

Данное уравнение является неоднородным. Сначала найдем общее решение однородного уравнения.

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , , .

Общее решение однородного уравнения: .

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде (см. табл. 1): .

Для нахождения в данное уравнение подставляем , , , где

Имеем тождество:

Или

Таким образом неопределенные коэффициенты A,B,C,D удовлетворяют системе линейных уравнений, которая получена из последнего выражения сравнением коэффициентов у подобных членов обеих частей полученного соотношения:

.

Добавляя к первому уравнению третье, имеем . Тогда из первого уравнения получаем .

Дальше второе и четвертое принимают такой вид:

.

Откуда , а .

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения:

,

а общее решение данного уравнения:

.

Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений

Достаточно часто для описания исследуемых процессов не достаточно одного дифференциального уравнения, поэтому используется их совокупность.

Совокупность линейных дифференциальных уравнений первого порядка с неизвестными функциями от одной независимой переменной :

где коэффициенты и свободные члены ( ) являются функциями от , называется системой линейных дифференциальных уравнений. Если уравнения системы решены относительно производных, то система линейных дифференциальных уравнений называется нормальной.

Если коэффициенты системы являются постоянными величинами, то такая система называется системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При система называется однородной, в противном случае неоднородной.

Общим решением системы дифференциальных уравнений называется совокупность функций, которые зависят от независимой переменной и произвольных постоянных :

которые удовлетворяют все уравнения системы.

Если независимую переменную обозначить через , то система принимает вид , где – производная первого порядка по аргументу .

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений заключается в определении такого решения системы, которое удовлетворяет начальные условия: , , ... , .