Лекция 11. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

11.1. Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным однородным дифференциальным уравнением -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

,

где – действительные числа.

Частным случаем однородного уравнения второго порядка является: , где и – постоянные коэффициенты.

Теорема 1. Если – решение уравнения , то и , где – произвольная постоянная, тоже будет решением этого уравнения.

Теорема 2. Если – решения уравнения , то их сумма тоже является решением этого уравнения.

Два решения называются линейно независимыми на множестве , если их отношение не равно постоянному числу. В противоположном случае решения называются линейно зависимыми.

Теорема 3. Если – независимые решения уравнения , то есть общее решение уравнения.

Теорема 4. Если решения уравнения линейно зависимые, то решение не будет общим решением уравнения.

Решение является частным решением уравнения, потому что оно зависит от одной произвольной постоянной . Таким образом, из теоремы 3 можно сделать вывод: чтобы найти общее решение уравнения, нужно найти два его линейно независимых решения и тогда будет общим решением этого уравнения.

Будем искать частное решение уравнения в виде показательной функции . Подставив в уравнение первую и вторую производные частного решения и учитывая, что , после упрощения получим уравнение: .

Это уравнение относительно называется характеристическим уравнением данного однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Чтобы получить характеристическое уравнение, достаточно производные , и функцию заменить на соответствующие степени величины , рассматривая при этом функцию как производную нулевого порядка.

Решив характеристическое уравнение, найдем значения :

.

Рассмотрим разные случаи решений характеристического уравнения, от которых зависит вид частного решения:

1. Если , корни уравнения действительные и разные: .

В этом случае ; – линейно независимые решения уравнения. Частные решения уравнения и линейно независимы, потому что их соотношение не является постоянной величиной.

Тогда в соответствии с теоремой 3 общее решение уравнения будет:

. (*)

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения: .

Решение.

Составим характеристическое уравнение: . Это уравнение имеет разные действительные корни: . Им соответствуют два частных решения: , .

Следовательно, общее решение имеет вид: .

2. Если , то корни характеристического уравнения действительны и равны: .

В этом случае – частное решение уравнения. Второе частное решение найдем в виде . Тогда в соответствии с теоремой 3 общее решение уравнения будет:

. (**)

Пример 2. Найти общее решение уравнения: .

Решение.

Запишем характеристическое уравнение этого дифференциального уравнения: . Его корни: . То есть уравнение имеет один двукратный действительный корень.

Ему соответствуют два частных решения уравнения: , . Общее решение уравнения имеет вид: .

3. Если , то уравнение имеет комплексно-сопряженные корни: , где ; .

В этом случае частные решения уравнения имеют вид:

; .

Тогда в соответствии с теоремой 3 общее решение уравнение будет:

. (***)

Пример 3. Найти общее решение уравнения: .

Решение.

Запишем характеристическое уравнение: . Оно имеет комплексные корни: . То есть ; . Этим корням соответствуют два частных решения:

и .

Общее решение уравнения имеет вид:

.

11.2. Структура общего решения неоднородного

дифференциального уравнения второго порядка.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения

второго порядка с правыми частями специального типа

Линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

,

где и – постоянные коэффициенты.

Теорема. Общее решение линейного неоднородного уравнения второго порядка находится по формуле:

, (1)

где – общее решение однородного дифференциального уравнения;

– частное решение, определенное видом правой части неоднородного уравнения, то есть функции .

Таким образом, чтобы найти общее решение неоднородного дифференциального уравнения нужно:

1. найти общее решение соответствующего однородного уравнения;

2. найти любое частное решение неоднородного уравнения;

3. найденные решения сложить, найденная сумма и будет общим решением неоднородного уравнения.

Рассмотрим несколько случаев нахождения частных решений неоднородного дифференциального уравнения со специальными правыми частями.

1. Пусть в правой части уравнения функция , где – многочлен -й степени.

В этом случае возможны такие ситуации:

а) число не является корнем характеристического уравнения.

Тогда частное решение находится в виде:

, (2)

где – полный многочлен той же степени, что и . Коэффициенты этого многочлена неизвестны и находятся при подстановке решения в неоднородное уравнение в результате приравнивания коэффициентов, которые стоят при одинаковых степенях в левой и правой частях уравнения. В этом заключается суть метода неопределенных коэффициентов;

б) число совпадает с одним из корней характеристического уравнения: .Тогда частное решение находится в виде:

; (3)

в) число совпадает с двукратным корнем характеристического уравнения: .Тогда частное решение находится в виде:

. (4)

Пример 4. Найти решение дифференциального уравнения

,

которое удовлетворяет начальным условиям: ; .

Решение.

Определим общее решение данного дифференциального уравнения. Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение, поэтому его общее решение состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения и любого частного решения неоднородного уравнения.

Найдем общее решение однородного уравнения: .

Составим его характеристическое уравнение: .

Это уравнение имеет разные действительные корни: ; , которым соответствуют два частных решения однородного уравнения: и .

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

.

Для нахождения частного решения неоднородного уравнения применим метод неопределенных коэффициентов. Будем искать частное решение неоднородного уравнения в виде: .

Для нахождения неизвестного коэффициента подставим функцию и ее производные: и в исходное неоднородное уравнение.

Имеем: , откуда .

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения запишется так:

.

Найдем частное решение неоднородного уравнения при начальных условиях: ; .

Подставим: , , в выражения для и .

Если , то получим:

, или .

Откуда: , .

Тогда искомое частное решение:

.

Если правая часть уравнения имеет вид: , то частное решение этого уравнения может быть найдено, как сумма частных решений уравнений:

и

.

То есть

.

Пример 5. Найти общее решение уравнения:

.

Решение.

Записав характеристическое уравнение: , находим его корни: . Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:

.

Правая часть данного уравнения является суммой:

,

где , .

Следовательно частное решение , а именно:

.

Взяв первую и вторую производные от функции и подставив их и саму функцию в исходное уравнение, получим:

.

Приравняем коэффициенты у подобных членов обеих частей полученного соотношения.

Получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов:

,

решением которой являются:

, , .

Следовательно, .

Таким образом, общее решение имеет вид:

.

2. Рассмотрим уравнение, которое имеет в правой части:

,

где – постоянные.

При таком виде функции могут быть два случая:

а) не являются корнями характеристического уравнения. Тогда частное решение имеет вид:

,

где определяются в результате приравнивания коэффициентов при и в левой и правой частях уравнения при подстановке в это уравнение частного решения и его первой и второй производных;

б) совпадают с корнями характеристического уравнения. В этом случае:

.

При нахождении частного решения линейного неоднородного уравнения предлагаем пользоваться табл. 1.

Таблица 1