Лекция 10. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
10.1. Дифференциальные уравнения второго порядка
Уравнение вида:
(10.1)
называется дифференциальным уравнением второго порядка.
Уравнение, разрешенное относительно производной, можно записать в виде:
.
(10.2)
Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называют функцию:
,
(10.3)
которая
зависит от аргумента
и от двух произвольных постоянных
величин
и
.
Если определить функцию
явно невозможно, то решение в этом случае
называют общим интегралом
дифференциального уравнения второго
порядка:
.
(10.4)
Частное решение (частный интеграл) находят из общего решения при произвольных значениях постоянных и . Если к уравнению прилагаются начальные условия, то частное решение можно найти в соответствии с этими условиями.
Начальными условиями для дифференциального уравнения второго порядка являются:
;
.
(10.5)
Задача
Коши.
Найти
частное решение
дифференциального уравнения (10.1)
,
которое удовлетворяет начальным условиям
(10.5).
Для поиска решения задачи Коши нужно сначала найти общее решение (10.3) или (10.4) и определить постоянные , из начальных условий (10.5).
Геометрический
смысл начальных условий
для дифференциального уравнения второго
порядка состоит в том, что, кроме точки
,
через которую проходит интегральная
кривая, мы задаем угловой коэффициент
касательной
к этой кривой в точке
.
Поскольку общее решение диференциального
уравнения второго порядка зависит от
двух произвольных постоянных,
через данную точку проходит множество
интегральных кривых, и лишь одна из них
имеет данный угловой коэффициент:
.
Произвольные постоянные и получают из системы уравнений:
. (10.6)
10.2. Дифференциальные уравнения второго порядка, которые допускают понижение порядка
Рассмотрим самые простые случаи дифференциальных уравнений второго порядка, которые допускают понижение порядка.
1. Самым простым уравнением такого вида является уравнение:
,
то есть
уравнение, правая часть которого зависит
лишь от независимой переменной
.
Проинтегрировав левую и праву части
уравнения, получим
,
где
– произвольная интегрирования.
Таким образом,
дифференциальное уравнение второго
порядка имеет множество решений. Как
отмечено выше, чтобы найти частное
решение части, необходимо удовлетворить
начальным условиям, то есть определить
произвольные
Пример
1.
.
Решение.
Поскольку
,
то
,
то есть
.
Тогда
.
Таким образом
.
Проинтегрировав
обе части полученного выражения, мы
получим общее решение начального
уравнения:
.
Пример
2. Найти частное решение
,
которое удовлетворяет начальным условиям
,
.
Решение.
Сначала ищем общее
решение. Нужно последовательно
проинтегрировать данное уравнение.
Принимая во внимание, что
имеем
или
.
Берем интеграл от обеих частей
или
то есть
Умножим
на
обе части уравнения
.
Интегрируем
,
.
Теперь нужно найти
и
учитывая
начальные условия. По условию
и
тогда
.
Следовательно
,
.
Тогда
или
.
2.
Дифференциальное уравнение, которое
допускает понижение порядка, вида:
.
Правая часть уравнения не содержит в себе неизвестную функцию. В этом случае уравнение может быть решено с помощью подстановки:
,
.
В
результате применения этой подстановки
уравнение принимает вид:
,
то есть его порядок снижается.
Следовательно, имеем дифференциальное
уравнение первого порядка.
Пример
3.
.
Решение.
Поскольку уравнение не содержит в
себе неизвестную функцию
,
то для его решения используем подстановку:
и
.
Тогда получим:
.
Сделаем
замену
:
.
Приравняв
выражение, которое стоит в последнем
уравнении в скобках, к нулю, мы получим:
или
.
Проинтегрировав левую
и праву части последнего соотношения
получим:
.
Следовательно, для нахождения неизвестной
функции
имеем дифференциальное уравнение:
,
то есть
.
Таким
образом, функция
равна:
.
Теперь найдем функцию
:
.
Поскольку
,
то имеем:
.
Далее проинтегрировав обе части последнего уравнения, получим окончательное решение начального уравнения:
.
Пример
4. Найти общее решение
.
Решение.
Применяем
замену
,
откуда
.
После этого данное уравнение приобретает
вид:
.
Получили уравнение с разделяемыми
переменными
или
.
Берем
интеграл от обеих частей
,
или
,
.
Откуда
.
Учитывая, что
имеем
или
,
следовательно
.
Интегрируем
обе части последнего равенства
.
Для нахождения
нужно выделить целую часть, потому что
подинтегральная функция есть неправильная
рациональная дробь. Для этого нужно
разделить числитель на знаменатель.
.
Интеграл принимает вид
Таким
образом
,
.
3.
Уравнение, которое не содержит явно
аргумент:
. Правая
часть уравнения в этом случае не содержит
в себе независимую переменную
и
решение можно получить с помощью
подстановки:
.
Подставляя неизвестную
функцию
и ее производную
в начальное уравнение, получим
дифференциальное уравнение первого
порядка относительно
как
функции от
:
.
Пример
5.
.
Решение.
Обозначив
и
и подставив эти выражения в начальное
уравнение, получим:
– дифференциальное уравнение с
разделяемыми переменными. Отделив
переменные, получим:
.
Отсюда:
,
или
,
,
или
.
Проинтегрировав обе части полученного уравнения, получим общий интеграл начального дифференциального уравнения:
.