9.4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной первого порядка, а именно:
,
(9.13)
где
– свободный член уравнения;
и
– известные и непрерывные функции
независимой переменной
(они также могут быть постоянными).
Метод Бернулли
Найдем решение уравнения в виде
произведения двух неизвестных функций:
.
Для первой производной этого
соотношения получим выражение:
.
Таким образом, исходное уравнение (9.13) будет иметь вид:
.
Выбрав в качестве
любое частное решение уравнения:
,
для поиска неизвестной функции
получим уравнение:
.
Таким образом, исходное уравнение свелось к решению системы двух дифференциальных уравнений:
,
(9.14)
оба уравнения которой составляют уравнения с разделяющимися переменными. Решив первое уравнение системы, найдем функцию :
,
,
,
,
поскольку нас интересует любое частное решение.
Подставляя найденное решение
во второе уравнение системы, получим:
,
.
Откуда: 
.
Таким образом, общее решение линейного уравнения имеет вид:
.
(9.15)
Пример
9. Найти решение уравнения
.
Решение.
Имеем уравнение вида (9.13).
Применяем
подстановку
,
где
и
– функции от
.
Тогда
.
Подставляя
и
в данное уравнение, получим:
.
Сгруппируем члены, которые содержат
,
и вынесем
за скобки, а именно:
.
Дальше функцию
выбираем так, что
,
тогда
.
Следовательно, для нахождения и имеем систему:
.
(9.16)
Решая первое уравнение, найдем
:
,
или
.
Интегрируем обе части:
,
,
.
Откуда
.
Найденную функцию подставляем во второе уравнение системы (9.16) и находим :
,
,
.
Интегрируем: 
,
.
Следовательно,
.
Таким образом,
.
9.5. Дифференциальные уравнения Бернулли
Некоторые уравнения в результате замены неизвестной функции могут быть приведены к линейному дифференциальному уравнению, например уравнение Бернулли, которое имеет вид:
,
(9.17)
где
.
В этом уравнении
и
– некоторые непрерывные функции,
которые могут быть и постоянными.
Уравнение Бернулли является нелинейным
уравнением, поскольку неизвестная
функция
в правой части уравнения нелинейная.
Разделив обе части уравнения на
,
получим:
.
(9.18)
Заменим функцию
на новую функцию
с помощью выражения:
.
Для первой производной этого соотношения
получим:
.
Подставим полученные соотношения в
исходное уравнение. Будем иметь линейное
дифференциальное уравнение относительно
функции
,
а именно:
,
решение которого рассмотрено выше.
Пример
10. Найти решение
уравнения
Решение.
По условию имеем уравнение Бернулли (9.17).
Преобразуем
его к линейному, применяя замену
.
В нашем примере
,
поэтому
или
,
тогда
.
Уравнение
принимает вид:
,
или после умножения на
:
Теперь имеем линейное уравнение относительно .
Решение уравнения ищем в виде
,
отсюда
.
Подставляя
и
в уравнение, получаем:
,
или
Это уравнение заменяем системой уравнений:
.
Из первого уравнения системы найдем :
,
или
,
откуда
Таким
образом,
,
,
то есть
Из второго уравнения системы найдем :
,
или
,
,
.
Интегрируя,
имеем
.
Таким образом:
,
.
Возвращаемся к переменной :
,
или
