9.2. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение вида

, (9.7)

где – непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными

Этот тип уравнения является самым простым, но вместе с тем очень важным, поскольку более сложные уравнения с помощью некоторых преобразований сводятся именно к этому типу.

Метод решения такого типа уравнений носит название разделения переменных. Запишем производную в эквивалентной форме как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной .

Умножим обе части уравнения (9.7) на и поделим обе его части на ; получаем:

. (9.8)

В этом уравнении переменные разделены. Интегрируя обе части равенства (9.8), получим общий интеграл дифференциального уравнения:

, (9.9)

где – произвольная постоянная.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.

Разделим обе части уравнения на произведение .

Получим: .

Переменные разделены. Интегрируя почленно, найдем общий интеграл: .

Следовательно, общим интегралом уравнения будет функция:

.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Переходим в уравнении к дифференциалам:

, или .

Следовательно, .

Отсюда , то есть , или .

Пример 5. Найти частное решение дифференциального уравнения , которое удовлетворяет условию при .

Решение.

Сначала найдем общее решение уравнения:

, или .

Умножим обе части уравнения на : .

Разделяем переменные, для этого обе части нужно разделить на : .

Интегрируем обе части: .

Находим интегралы: .

После потенцирования получаем: – общее решение.

Теперь нужно найти , используя начальное условие, а именно: . Подставляем в решение начальное условие, получим: , откуда . Теперь подставляем в общее решение .

Таким образом, частное решение: .

9.3. Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение вида:

(9.10)

называется однородным уравнением первого порядка, если его правую часть, то есть функцию , можно представить как функцию отношения своих аргументов: .

Тогда уравнение (9.10) будет иметь вид:

. (9.11)

Это уравнение легко преобразовать в уравнение с разделяющимися переменными. С этой целью сделаем замену переменной: .

Так как и , уравнение (9.11) примет вид:

,

то есть

. (9.12)

В уравнении (9.12) переменные разделены.

Проинтегрировав его обе части, получим: .

Из этого соотношения найдем общий интеграл уравнения . Возвращаясь к исходной переменной , получим решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.

Пример 6. Решить уравнение: .

Решение.

Пусть , тогда и . Подставим полученные соотношения в исходное уравнение:

, то есть .

Интегрируем обе части уравнения:

.

Таким образом, общий интеграл уравнения: .

Пример 7. Решить уравнение: .

Решение.

Выразим из данного уравнения первую производную неизвестной функции: .

Полученное уравнение однородное.

Пусть , и .

Тогда, , или .

Интегрируем обе части уравнения:

, или .

Возвращаясь к исходной переменной, получим решение:

.

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения , если .

Решение.

Сначала находим общий интеграл данного уравнения.

Разделив обе части уравнения на , имеем: .

Применяем замену , или , .

Тогда: , или ,

откуда .

Это уравнения с разделяющимися переменными: .

Интегрируем обе части уравнения: .

.

или .

Возвращаясь к исходной переменной, получим решение:

.

Учитывая начальное условие, найдем . Для этого в общий интеграл уравнения поставим : , , откуда .Тогда частное решение уравнения имеет вид:

.